1. (2 ptos) Dois alto-falantes separados por uma distância d_{1}=175,0 \mathrm{~cm} estão em fase. Suponha que as amplitudes das ondas sonoras emitidas pelos altofalantes são aproximadamente iguais para um ouvinte que se encontra à frente de um dos alto-falantes, a uma distância d_{2}=475,0 \mathrm{~cm}. Considere a velocidade do som igual a 343,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Qual a menor frequência audível para qual a intensidade do som é mínima na posição do ouvinte? (b) Qual a maior frequência audível para qual a intensidade do som é mínima na posição do ouvinte? (c) Qual a menor frequência audível para qual a intensidade do som é máxima na posição do ouvinte? (d) Qual a maior frequência audível para qual a intensidade do som é máxima na posição do ouvinte?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede. Peguei os valores numéricos da figura enviada.
  • Dados extraídos da figura: d_{1}=175,0\\ \mathrm{cm} e d_{2}=475,0\\ \mathrm{cm}.
  • Dado fornecido no enunciado: velocidade do som v=343,5\\ \mathrm{m/s}.
  • O ouvinte está à frente do alto-falante inferior, a uma distância horizontal d_{2}, e o outro alto-falante está deslocado verticalmente por d_{1} (conforme a figura).
  • O enunciado pede:
    (a) a menor frequência audível para a qual a intensidade é mínima nesse ponto do ouvinte;
    (b) a maior frequência audível para a qual a intensidade é mínima nesse ponto;
    (c) a menor frequência audível para a qual a intensidade é máxima nesse ponto;
    (d) a maior frequência audível para a qual a intensidade é máxima nesse ponto.
Observação: vou assumir o intervalo audível padrão \,20\\ \mathrm{Hz}\le f\le 20{,}000\\ \mathrm{Hz}.

Passo 2

Converter distâncias para metros e calcular a diferença de trajeto entre as ondas que chegam ao ouvinte.
  • Converter: d_{1}=175,0\\ \mathrm{cm}=1,75\\ \mathrm{m} e d_{2}=475,0\\ \mathrm{cm}=4,75\\ \mathrm{m}.
  • O caminho do som vindo do alto-falante superior até o ouvinte é a hipotenusa do triângulo reto formado por d_{2} (horizontal) e d_{1} (vertical). Logo o comprimento desse trajeto é \sqrt{d_{2}^{2}+d_{1}^{2}}.
  • A diferença de caminho entre as duas ondas que chegam ao ouvinte é
\Delta L=\sqrt{d_{2}^{2}+d_{1}^{2}}-d_{2}.
Agora calculamos numericamente:
\sqrt{d_{2}^{2}+d_{1}^{2}}=\sqrt{(4,75)^{2}+(1,75)^{2}}=\sqrt{22{,}5625+3{,}0625}=\sqrt{25{,}625}\approx5,062114\\ \mathrm{m},
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\Delta L\approx5,062114-4,75=0,312114\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Relembrando a teoria de interferência (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Quando duas fontes estão em fase e têm amplitudes aproximadamente iguais no ponto do ouvinte, a condição de interferência depende da diferença de caminho \Delta L em relação ao comprimento de onda \lambda.
  • A relação entre fase e caminho: uma variação de caminho de \lambda corresponde a uma variação de fase de 2\pi. Portanto, uma diferença de caminho \Delta L corresponde a uma diferença de fase \Delta\varphi dada por
\Delta\varphi = \frac{2\pi\,\Delta L}{\lambda}.
  • Condições clássicas:
    • Interferência destrutiva (mínimos de intensidade) ocorre quando as ondas chegam com diferença de fase ímpar de \pi, ou seja \Delta\varphi=(2m+1)\pi com m=0,1,2,\dots. Em termos de comprimento de onda isso é
    \Delta L=\frac{(2m+1)\lambda}{2}.
    • Interferência construtiva (máximos de intensidade) ocorre quando a diferença de fase é múltipla inteira de 2\pi, ou seja \Delta\varphi=2m\pi. Em comprimento de onda:
    \Delta L=m\lambda,\qquad m=0,1,2,\dots
  • Relação entre frequência f, velocidade v e comprimento de onda \lambda:
f=\frac{v}{\lambda}.
  • Substituindo \lambda nas condições acima obtemos as frequências correspondentes:
    • Para mínimos (destrutivos):
    \lambda=\frac{2\Delta L}{2m+1}\quad\Rightarrow\quad f_{m}^{(\text{min})}=\frac{v(2m+1)}{2\Delta L},\quad m=0,1,2,\dots
    • Para máximos (construtivos):
    \lambda=\frac{\Delta L}{m}\quad\Rightarrow\quad f_{m}^{(\text{max})}=\frac{v\,m}{\Delta L},\quad m=1,2,\dots(nota: m=0 em máximos implicaria \lambda=\infty e f=0, que não é uma frequência audível útil; por isso tomamos m\ge1 para máximos reais neste problema porque \Delta L\neq0.)

Passo 4

Calcular explicitamente a série de frequências de mínimos e identificar a menor audível e a maior audível.
  • Usando \Delta L\approx0,312114\\ \mathrm{m} e v=343,5\\ \mathrm{m/s}, a expressão para mínimos é
f_{m}^{(\text{min})}=\frac{343{,}5\,(2m+1)}{2\cdot0{,}312114}.
  • Primeiro calcule o caso m=0 (menor ordem de destrutivo):
f_{0}^{(\text{min})}=\frac{343{,}5}{2\cdot0{,}312114}\approx\frac{343{,}5}{0{,}624228}\approx550{,}3\\ \mathrm{Hz}.
Esse é maior que 20\\ \mathrm{Hz}, logo é a menor frequência audível que produz mínimo no ponto do ouvinte.
  • Para achar a maior frequência audível que corresponde a um mínimo, precisamos achar o maior m tal que f_{m}^{(\text{min})}\le 20{,}000\\ \mathrm{Hz}. Reescrevendo,
2m+1 \le \frac{2\Delta L\cdot 20{,}000}{v}.
Calcule o lado direito:
\frac{2\Delta L\cdot 20{,}000}{v}=\frac{0{,}624228\cdot 20{,}000}{343{,}5}\approx36{,}342.
  • O maior número ímpar \le36{,}342 é 35, que corresponde a 2m+1=35\Rightarrow m=17.
  • Assim a maior frequência audível de mínimo é
f_{17}^{(\text{min})}=\frac{343{,}5\cdot35}{2\cdot0{,}312114}=35\cdot f_{0}^{(\text{min})}\approx35\cdot550{,}3\approx19\,260{,}5\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Calcular explicitamente a série de frequências de máximos e identificar a menor audível e a maior audível.
  • Para máximos temos
f_{m}^{(\text{max})}=\frac{v\,m}{\Delta L}=\frac{343{,}5\,m}{0{,}312114}.
  • O menor m relevante é m=1, que dá
f_{1}^{(\text{max})}=\frac{343{,}5}{0{,}312114}\approx1100{,}6\\ \mathrm{Hz}.
Esse é a menor frequência audível que produz máximo no ponto do ouvinte (lembrando que m=0 não é um máximo físico aqui).
  • Para a maior frequência audível correspondente a um máximo, impõe-se f_{m}^{(\text{max})}\le20{,}000\\ \mathrm{Hz}, ou
m \le \frac{\Delta L\cdot 20{,}000}{v}.
Calcule o lado direito:
\frac{\Delta L\cdot 20{,}000}{v}=\frac{0{,}312114\cdot 20{,}000}{343{,}5}\approx18{,}171.
  • O maior inteiro m que satisfaz isso é m=18.
  • Assim a maior frequência audível de máximo é
f_{18}^{(\text{max})}=18\cdot f_{1}^{(\text{max})}\approx18\cdot1100{,}6\approx19\,810{,}8\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Pequena verificação e incentivo: os valores obtidos fazem sentido fisicamente — as frequências de mínimos e máximos formam séries harmônicas regulares (os máximos em múltiplos inteiros de f_{1}^{(\text{max})} e os mínimos em múltiplos ímpares de f_{0}^{(\text{min})}), e todas as frequências estão dentro do intervalo audível pedido. Você já chegou longe — ótimo trabalho!

Resposta

(a) 550{,}3\\ \mathrm{Hz}
(b) 19\,260{,}5\\ \mathrm{Hz}
(c) 1\,100{,}6\\ \mathrm{Hz}
(d) 19\,810{,}8\\ \mathrm{Hz}

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