- (2 ptos) Dois alto-falantes separados por uma distância
estão em fase. Suponha que as amplitudes das ondas sonoras emitidas pelos altofalantes são aproximadamente iguais para um ouvinte que se encontra à frente de um dos alto-falantes, a uma distância
. Considere a velocidade do som igual a
. (a) Qual a menor frequência audível para qual a intensidade do som é mínima na posição do ouvinte? (b) Qual a maior frequência audível para qual a intensidade do som é mínima na posição do ouvinte? (c) Qual a menor frequência audível para qual a intensidade do som é máxima na posição do ouvinte? (d) Qual a maior frequência audível para qual a intensidade do som é máxima na posição do ouvinte?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede. Peguei os valores numéricos da figura enviada.
- Dados extraídos da figura:
e . - Dado fornecido no enunciado: velocidade do som
. - O ouvinte está à frente do alto-falante inferior, a uma distância horizontal
, e o outro alto-falante está deslocado verticalmente por (conforme a figura). - O enunciado pede:
(a) a menor frequência audível para a qual a intensidade é mínima nesse ponto do ouvinte;
(b) a maior frequência audível para a qual a intensidade é mínima nesse ponto;
(c) a menor frequência audível para a qual a intensidade é máxima nesse ponto;
(d) a maior frequência audível para a qual a intensidade é máxima nesse ponto.
Observação: vou assumir o intervalo audível padrão
.
Passo 2
Converter distâncias para metros e calcular a diferença de trajeto entre as ondas que chegam ao ouvinte.
- Converter:
e . - O caminho do som vindo do alto-falante superior até o ouvinte é a hipotenusa do triângulo reto formado por
(horizontal) e (vertical). Logo o comprimento desse trajeto é . - A diferença de caminho entre as duas ondas que chegam ao ouvinte é
Agora calculamos numericamente:
logo
Passo 3
Relembrando a teoria de interferência (passo-a-passo, sem pular etapas).
- Quando duas fontes estão em fase e têm amplitudes aproximadamente iguais no ponto do ouvinte, a condição de interferência depende da diferença de caminho
em relação ao comprimento de onda . - A relação entre fase e caminho: uma variação de caminho de
corresponde a uma variação de fase de . Portanto, uma diferença de caminho corresponde a uma diferença de fase dada por
- Condições clássicas:
- Interferência destrutiva (mínimos de intensidade) ocorre quando as ondas chegam com diferença de fase ímpar de
, ou seja com . Em termos de comprimento de onda isso é
- Interferência construtiva (máximos de intensidade) ocorre quando a diferença de fase é múltipla inteira de
, ou seja . Em comprimento de onda:
- Interferência destrutiva (mínimos de intensidade) ocorre quando as ondas chegam com diferença de fase ímpar de
- Relação entre frequência
, velocidade e comprimento de onda :
- Substituindo
nas condições acima obtemos as frequências correspondentes: - Para mínimos (destrutivos):
- Para máximos (construtivos):
(nota: em máximos implicaria e , que não é uma frequência audível útil; por isso tomamos para máximos reais neste problema porque .)
Passo 4
Calcular explicitamente a série de frequências de mínimos e identificar a menor audível e a maior audível.
- Usando
e , a expressão para mínimos é
- Primeiro calcule o caso
(menor ordem de destrutivo):
Esse é maior que
, logo é a menor frequência audível que produz mínimo no ponto do ouvinte.
- Para achar a maior frequência audível que corresponde a um mínimo, precisamos achar o maior
tal que . Reescrevendo,
Calcule o lado direito:
- O maior número ímpar
é , que corresponde a . - Assim a maior frequência audível de mínimo é
Passo 5
Calcular explicitamente a série de frequências de máximos e identificar a menor audível e a maior audível.
- Para máximos temos
- O menor
relevante é , que dá
Esse é a menor frequência audível que produz máximo no ponto do ouvinte (lembrando que
não é um máximo físico aqui).
- Para a maior frequência audível correspondente a um máximo, impõe-se
, ou
Calcule o lado direito:
- O maior inteiro
que satisfaz isso é . - Assim a maior frequência audível de máximo é
Passo 6
Pequena verificação e incentivo: os valores obtidos fazem sentido fisicamente — as frequências de mínimos e máximos formam séries harmônicas regulares (os máximos em múltiplos inteiros de
e os mínimos em múltiplos ímpares de
), e todas as frequências estão dentro do intervalo audível pedido. Você já chegou longe — ótimo trabalho!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)