(2,0 pontos ) Agua a 40^{\circ} \mathrm{C} é bombeada à taxa de 2,5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de um reservatório que está 20 m accima de uma bomba para uma descarga livre 35 m acina da bomba. A pressão no lado da admissão da bomba é de 100 kPa e no lado da descarga é de 750 kPa . Todos os tubos são de aço laminado com diâmetro nominal de 2 in. Determine:
  • A altura de carga fornecida pela bomba;
  • A perda de carga total entre a bomba e o ponto de descarga livre.
Considere a presença dos seguintes acessórios:
  • 2 joelhos 90^{\circ};
  • 2 curvas 90^{\circ};
  • 1 registro globo aberto;
  • Comprimento total da tubulação de 200 m .
  • Esta bomba está adequada para o sistema?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a altura de carga que a bomba fornece e a perda de carga total no circuito. O fluido é água a 40^\circ\mathrm{C} (densidade \rho=992\;\mathrm{kg/m^3}, peso específico \gamma=\rho g=992\cdot9{,}81\approx 9{,}73\times10^3\;\mathrm{N/m^3}, viscosidade cinemática \nu\approx0{,}658\times10^{-6}\;\mathrm{m^2/s}). A vazão volumétrica é
Q=2{,}5\times10^{-4}\;\mathrm{m^3/s}.
A tubulação é nominal de 2″ schedule 40 com diâmetro interno D=0{,}0525\;\mathrm{m} e comprimento L=200\;\mathrm{m}. Há 2 joelhos de 90^\circ (K \approx 0,3 cada), 2 curvas de 90^\circ (K \approx 0,2 cada) e 1 registro globo aberto (K \approx 10). A elevação do nível livre do reservatório de sucção até a bomba é z_1=20\;\mathrm{m} e do lado de descarga até o plano de referência da bomba é z_2=35\;\mathrm{m}. As pressões são p_1=100\;\mathrm{kPa} e p_2=750\;\mathrm{kPa}.
Conteúdo necessário: Bernoulli entre entrada e saída da bomba para achar a carga fornecida, cálculo de perda de carga por atrito em tubo (fórmula de Darcy–Weisbach) e de menores perdas (coeficientes K).

Passo 2

Calcular a velocidade média na tubulação a partir de
A=\frac{\pi D^2}{4},\qquad v=\frac{Q}{A}.
Com D=0{,}0525\;\mathrm{m} vem
A=\frac{\pi(0{,}0525)^2}{4}\approx0{,}002164\;\mathrm{m^2}, \quad v=\frac{2{,}5\times10^{-4}}{0{,}002164}\approx0{,1156\;m/s}.

Passo 3

Determinar a altura de carga da bomba pela forma integral de Bernoulli entre ponto 1 (lado de sucção, logo a montante da bomba) e ponto 2 (lado de descarga), desprezando velocidades relativas à bomba:
H_{\rm bomba} =\frac{p_2}{\gamma}-\frac{p_1}{\gamma}+(z_2-z_1) +\frac{v_2^2}{2g}-\frac{v_1^2}{2g}.
Como v_1\approx v_2=v e esses termos são pequenos comparados a p/\gamma, desprezamos \Delta(v^2/2g). Logo
H_{\rm bomba} =\frac{750\times10^3-100\times10^3}{9{,}73\times10^3} +(35-20)\approx\frac{650\times10^3}{9{,}73\times10^3}+15 \approx66{,}8+15=81{,}8\;\mathrm{m}.

Passo 4

Estimar a perda de carga por atrito no tubo usando Darcy–Weisbach:
h_f=f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}.
Primeiro, número de Reynolds
Re=\frac{vD}{\nu}=\frac{0{,}1156\cdot0{,}0525}{0{,}658\times10^{-6}} \approx9{,}2\times10^3,
e rugosidade relativa \epsilon/D\approx0{,}000045/0{,}0525\approx9\times10^{-4}.
Pelo diagrama de Moody, para esses valores adota-se f\approx0{,}033.
Calcula-se então
h_f=0{,}033\cdot\frac{200}{0{,}0525}\cdot\frac{(0{,}1156)^2}{2\cdot9{,}81} \approx0{,}085\;\mathrm{m}.

Passo 5

Calcular as perdas de carga menores (fittings) pela soma dos coeficientes K e aplicação
h_m=\sum K_i\,\frac{v^2}{2g}.
Temos
K_{\rm globo}=10,\quad 2\times K_{\rm joelho}=2\times0{,}3=0{,}6,\quad 2\times K_{\rm curva}=2\times0{,}2=0{,}4, \sum K=10+0{,}6+0{,}4=11. Logo
h_m=11\cdot\frac{(0{,}1156)^2}{2\cdot9{,}81}\approx11\cdot0{,}00068\approx0{,}0075\;\mathrm{m}.

Passo 6

Somar perdas de atrito e menores para obter a perda de carga total no circuito:
H_{\rm perdas}=h_f+h_m\approx0{,}085+0{,}0075\approx0{,}093\;\mathrm{m}\approx0{,}1\;\mathrm{m}.

Resposta

Altura de carga fornecida pela bomba: aproximadamente 81{,}8\;\mathrm{m}.
Perda de carga total no sistema: aproximadamente 0{,}1\;\mathrm{m}.
Como a bomba precisa vencer cerca de 15\;\mathrm{m} de elevação mais 66{,}8\;\mathrm{m} de pressão convertida e praticamente 0{,}1\;\mathrm{m} de perdas, ela deve ser capaz de entregar uns 82\;\mathrm{m} de coluna de água. Se a curva da bomba mostrar que ela fornece esse valor de altura a essa vazão, então está adequada.

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