(3,0 Pontos) Uma aleta cilíndrica de cobre \left[\mathrm{k}=401 \mathrm{Wm}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}\right] com 6 mm de diâmetro e 8 cm de comprimento está fixada a uma superfície que é mantida a 150^{\circ} \mathrm{C}. A aleta está exposta a um ambiente com temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de transferência de calor por convecção de 35 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}.
a) (1,0 Ponto) Determine a taxa de transferência de calor a partir da aleta, considerando a convecção na ponta;
b) (1,0 Ponto) Calcule a eficiência e a efetividade da aleta;
c) (1,0 Ponto) Qual seria o erro percentual na taxa de transferência de calor se a aleta fosse considerada infinitamente longa?

Passo 1

O enunciado dá uma aleta cilíndrica de cobre com as seguintes informações (peguei estes dados do enunciado):
  • condutividade térmica: k=401\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}};
  • diâmetro: d=6\\ \mathrm{mm}\Rightarrow raio r=0,003\\ \mathrm{m};
  • comprimento da aleta: L=8\\ \mathrm{cm}=0,08\\ \mathrm{m};
  • temperatura da superfície (base): T_b=150^\circ\mathrm{C};
  • temperatura do ambiente: T_\infty=25^\circ\mathrm{C};
  • coeficiente de convecção: h=35\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
O que é pedido:
(a) determinar a taxa de transferência de calor da aleta considerando convecção também na ponta;
(b) calcular a eficiência da aleta e a efetividade da aleta;
(c) achar o erro percentual na taxa de transferência se a aleta fosse considerada infinitamente longa.

Passo 2

Modelagem física e fórmulas essenciais (explicando cada símbolo):
  • Trata-se de uma aleta de seção constante (cilíndrica). Usamos a equação de estado estacionário para aleta unidimensional com convecção lateral e convecção na ponta.
  • Definições geométricas: A_c=\text{área da seção transversal}=\pi r^2,áçã
P=\text{perímetro molhado} = 2\pi r.í
Aqui A_c tem unidade \mathrm{m^2} e P tem unidade \mathrm{m}.
  • Constante característica m (tem unidade \mathrm{m^{-1}}): m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}}.Explicação: m mede a relação entre capacidade de remoção por convecção (numerador) e condução (denominador) — quanto maior m, mais rápida a queda de temperatura ao longo da aleta.
  • A solução conhecida para a taxa de calor retirada por uma aleta de comprimento L com convecção na ponta (tipo convectivo) é Q_f=\sqrt{hPkA_c}\,(T_b-T_\infty)\cdot \dfrac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)} {\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.Explicação rápida do que cada fator representa:
    • \sqrt{hPkA_c} tem dimensão de potência por temperatura e combina condução e convecção;
    • o fator com \operatorname{sinh},\operatorname{cosh} representa o efeito do comprimento finito e da convecção na ponta.
  • Eficiência da aleta \eta (define quão bem a superfície real da aleta é aproveitada comparada a uma situação hipotética isoterma à temperatura da base): \eta=\dfrac{Q_f}{hA_f(T_b-T_\infty)},onde A_f é a área total da aleta exposta ao fluido: A_f=PL + A_c (lateral mais ponta).
  • Efetividade (effectiveness) \varepsilon: relação entre o calor extra retirado pela aleta e o calor que seria retirado pela própria área da base sem aleta. Para uma aleta que se fixa pela sua base circular, usa-se \varepsilon=\dfrac{Q_f}{hA_b(T_b-T_\infty)},onde A_b é a área de base da aleta em contato com a superfície (aqui A_b=A_c). Assim \varepsilon mostra quanto a aleta multiplica a transferência de calor daquela pequena área de base.
  • A aproximação “aleta infinitamente longa” corresponde ao limite mL\to\infty, onde o fator com \operatorname{sinh},\operatorname{cosh} tende a 1, logo Q_{f,\infty}=\sqrt{hPkA_c}\,(T_b-T_\infty).

Passo 3

Calcular as grandezas geométricas e numéricas iniciais:
  • raio r=0,003\\ \mathrm{m}.
  • área da seção transversal: A_c=\pi r^2=\pi(0,003)^2=\pi\cdot 9{,}0\times10^{-6}\approx 2{,}827\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
  • perímetro: P=2\pi r=2\pi(0,003)\approx 0{,}01885\\ \mathrm{m}.
  • diferença de temperatura: \Delta T=T_b-T_\infty=150-25=125\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular m e parâmetros auxiliares (passo a passo com contas):
  • Primeiro calcule o produto kA_c: kA_c=401\times 2{,}827\times10^{-5}\approx 0{,}01134\\ \mathrm{W\,K^{-1}}.
  • Calcule hP: hP=35\times 0{,}01885\approx 0{,}6597\\ \mathrm{W\,K^{-1}}.
  • Agora m: m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}}=\sqrt{\dfrac{0{,}6597}{0{,}01134}}\approx\sqrt{58{,}20}\approx 7{,}63\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Produto adimensional mL: mL=7{,}63\times 0{,}08\approx 0{,}610.
  • Calcule também o quociente \dfrac{h}{mk} que aparece na condição de ponta: \dfrac{h}{mk}=\dfrac{35}{7{,}63\times 401}\approx \dfrac{35}{3060}\approx 0{,}01144.

Passo 5

Avaliar a expressão de Q_f numericamente (avaliando \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} com os valores encontrados):
  • Calcule \operatorname{sinh}(mL) e \operatorname{cosh}(mL) para mL\approx 0{,}610: \operatorname{sinh}(0{,}610)\approx 0{,}649,\qquad \operatorname{cosh}(0{,}610)\approx 1{,}192.
  • Monte o numerador e denominador do fator de correção: \text{num}=\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)\approx 0{,}649+0{,}01144\times1{,}192\approx 0{,}6626,
\text{den}=\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)\approx 1{,}192+0{,}01144\times0{,}649\approx 1{,}1994.
\dfrac{\text{num}}{\text{den}}\approx \dfrac{0{,}6626}{1{,}1994}\approx 0{,}5523.
  • Calcule a raiz \sqrt{hPkA_c}: hPkA_c = (hP)(kA_c)\approx 0{,}6597\times0{,}01134\approx 0{,}00748,
\sqrt{hPkA_c}\approx \sqrt{0{,}00748}\approx 0{,}08649\\ \mathrm{W\,K^{-1}}.
  • Finalmente, a taxa de calor pela aleta: Q_f=\sqrt{hPkA_c}\,\Delta T\cdot\frac{\text{num}}{\text{den}} \approx 0{,}08649\times125\times0{,}5523\approx 5{,}97\\ \mathrm{W}.Interpretação: a aleta retira cerca de 5{,}97\\ \mathrm{W} do corpo — número pequeno, porque a aleta é curta e de pequena área.

Passo 6

Calcular a eficiência \eta e a efetividade \varepsilon com as definições dadas:
  • Área total da aleta: A_f=PL + A_c \approx 0{,}01885\times0{,}08 + 2{,}827\times10^{-5} \approx 0{,}001508 + 0{,}00002827 \approx 0{,}001536\\ \mathrm{m^2}.
  • Eficiência: \eta=\dfrac{Q_f}{hA_f\Delta T}=\dfrac{5{,}97}{35\times0{,}001536\times125}.Calcule o denominador: 35\times0{,}001536\times125\approx 6{,}721\\ \mathrm{W}. Assim \eta\approx \dfrac{5{,}97}{6{,}721}\approx 0{,}888\quad\text{(ou }88{,}8\%\text{)}.Interpretação: a aleta converte aproximadamente 88{,}8\% da sua superfície em remoção efetiva de calor (boa eficiência).
  • Efetividade (usando A_b=A_c): \varepsilon=\dfrac{Q_f}{hA_c\Delta T}=\dfrac{5{,}97}{35\times 2{,}827\times10^{-5}\times125}.Denominador: 35\times2{,}827\times10^{-5}\times125\approx 0{,}1237\\ \mathrm{W}. Então \varepsilon\approx \dfrac{5{,}97}{0{,}1237}\approx 48{,}3.Interpretação: cada aleta remove calor equivalente a cerca de 48 vezes o que aquela pequena área de base removeria sem aleta — ou seja, é bastante efetiva em aumentar a remoção por área de base.

Passo 7

Erro percentual ao usar a hipótese de aleta infinitamente longa:
  • A aleta infinita teria Q_{f,\infty}=\sqrt{hPkA_c}\,\Delta T.Calculado antes: \sqrt{hPkA_c}\approx 0{,}08649, então Q_{f,\infty}\approx 0{,}08649\times125\approx 10{,}81\\ \mathrm{W}.
  • Erro percentual relativo ao valor correto Q_f (considerando o valor exato como referência) é \text{erro \%}=\dfrac{Q_{f,\infty}-Q_f}{Q_f}\times100\% =\dfrac{10{,}81-5{,}97}{5{,}97}\times100\%\approx 81{,}1\%.Conclusão: assumir aleta infinitamente longa superestima fortemente a remoção de calor — neste caso em cerca de 81{,}1\%.

Resposta

(a) Q_f\approx 5{,}97\\ \mathrm{W}
(b) \eta\approx 0{,}888 \bigl(88{,}8\%\bigr)
\varepsilon\approx 48{,}3
(c) Erro percentual \approx 81{,}1\%

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