(3,0 Pontos) Uma aleta cilíndrica de cobre
com 6 mm de diâmetro e 8 cm de comprimento está fixada a uma superfície que é mantida a
. A aleta está exposta a um ambiente com temperatura de
e coeficiente de transferência de calor por convecção de
.
a) (1,0 Ponto) Determine a taxa de transferência de calor a partir da aleta, considerando a convecção na ponta;
b) (1,0 Ponto) Calcule a eficiência e a efetividade da aleta;
c) (1,0 Ponto) Qual seria o erro percentual na taxa de transferência de calor se a aleta fosse considerada infinitamente longa?
a) (1,0 Ponto) Determine a taxa de transferência de calor a partir da aleta, considerando a convecção na ponta;
b) (1,0 Ponto) Calcule a eficiência e a efetividade da aleta;
c) (1,0 Ponto) Qual seria o erro percentual na taxa de transferência de calor se a aleta fosse considerada infinitamente longa?
Passo 1
O enunciado dá uma aleta cilíndrica de cobre com as seguintes informações (peguei estes dados do enunciado):
- condutividade térmica:
; - diâmetro:
raio ; - comprimento da aleta:
; - temperatura da superfície (base):
; - temperatura do ambiente:
; - coeficiente de convecção:
.
O que é pedido:
(a) determinar a taxa de transferência de calor da aleta considerando convecção também na ponta;
(b) calcular a eficiência da aleta e a efetividade da aleta;
(c) achar o erro percentual na taxa de transferência se a aleta fosse considerada infinitamente longa.
(a) determinar a taxa de transferência de calor da aleta considerando convecção também na ponta;
(b) calcular a eficiência da aleta e a efetividade da aleta;
(c) achar o erro percentual na taxa de transferência se a aleta fosse considerada infinitamente longa.
Passo 2
Modelagem física e fórmulas essenciais (explicando cada símbolo):
- Trata-se de uma aleta de seção constante (cilíndrica). Usamos a equação de estado estacionário para aleta unidimensional com convecção lateral e convecção na ponta.
- Definições geométricas:
Aqui
tem unidade
e
tem unidade
.
- Constante característica
(tem unidade ): Explicação: mede a relação entre capacidade de remoção por convecção (numerador) e condução (denominador) — quanto maior , mais rápida a queda de temperatura ao longo da aleta. - A solução conhecida para a taxa de calor retirada por uma aleta de comprimento
com convecção na ponta (tipo convectivo) é Explicação rápida do que cada fator representa: -
tem dimensão de potência por temperatura e combina condução e convecção; - o fator com
representa o efeito do comprimento finito e da convecção na ponta.
-
- Eficiência da aleta
(define quão bem a superfície real da aleta é aproveitada comparada a uma situação hipotética isoterma à temperatura da base): onde é a área total da aleta exposta ao fluido: (lateral mais ponta). - Efetividade (effectiveness)
: relação entre o calor extra retirado pela aleta e o calor que seria retirado pela própria área da base sem aleta. Para uma aleta que se fixa pela sua base circular, usa-se onde é a área de base da aleta em contato com a superfície (aqui ). Assim mostra quanto a aleta multiplica a transferência de calor daquela pequena área de base. - A aproximação “aleta infinitamente longa” corresponde ao limite
, onde o fator com tende a 1, logo
Passo 3
Calcular as grandezas geométricas e numéricas iniciais:
- raio
. - área da seção transversal:
- perímetro:
- diferença de temperatura:
Passo 4
Calcular
e parâmetros auxiliares (passo a passo com contas):
- Primeiro calcule o produto
: - Calcule
: - Agora
: - Produto adimensional
: - Calcule também o quociente
que aparece na condição de ponta:
Passo 5
Avaliar a expressão de
numericamente (avaliando
e
com os valores encontrados):
- Calcule
e para : - Monte o numerador e denominador do fator de correção:
- Calcule a raiz
:
- Finalmente, a taxa de calor pela aleta:
Interpretação: a aleta retira cerca de do corpo — número pequeno, porque a aleta é curta e de pequena área.
Passo 6
Calcular a eficiência
e a efetividade
com as definições dadas:
- Área total da aleta:
- Eficiência:
Calcule o denominador: . Assim Interpretação: a aleta converte aproximadamente da sua superfície em remoção efetiva de calor (boa eficiência). - Efetividade (usando
): Denominador: . Então Interpretação: cada aleta remove calor equivalente a cerca de vezes o que aquela pequena área de base removeria sem aleta — ou seja, é bastante efetiva em aumentar a remoção por área de base.
Passo 7
Erro percentual ao usar a hipótese de aleta infinitamente longa:
- A aleta infinita teria
Calculado antes: , então - Erro percentual relativo ao valor correto
(considerando o valor exato como referência) é Conclusão: assumir aleta infinitamente longa superestima fortemente a remoção de calor — neste caso em cerca de .
Resposta
(a)
(b)
(c) Erro percentual