(3,0 pontos)
Aletas em forma de disco circular de espessura constante, estão fixas sobre um tubo de
de diâmetro externo, com um espaçamento de 100 aletas por metro de tubo. As aletas são feitas de alumínio
, com a espessura de 1 mm e altura de 1 cm . A parede do tubo é mantida a
, e o calor é dissipado por convecção para o ambiente a
, com o coeficiente de transferência de calor
. Calcular a perda térmica para o ar ambiente, por metro de comprimento do tubo. Comparar esta perda térmica com a que ocorreria no tubo sem aletas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a perda térmica por convecção para o ar ambiente, por metro de comprimento do tubo, quando o tubo tem as aletas descritas.
- Comparar essa perda térmica com a que ocorreria no tubo sem aletas.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- diâmetro externo do tubo:
; - espaçamento:
aletas por metro número de aletas por metro ; - aletas em disco de espessura
e altura (comprimento radial) ; - condutividade do alumínio:
; - parede do tubo a
(base das aletas); - ambiente a
; - coeficiente de convecção:
.
Informações geométricas que vou usar:
- raio externo do tubo (base da aleta):
; - raio externo da aleta:
.
Antes de calcular, explico que procedimento vou usar (não é uma solução técnica completa com funções de Bessel): vou aproximar cada aleta disco como uma aleta de seção constante (modelo de aleta plana) usando a eficiência de aleta aproximada
, com
onde o fator
aparece porque a aleta perde calor por ambas as faces (superfícies superior e inferior). Essa é uma aproximação prática e bastante usada quando a espessura é pequena e
não é muito grande. Vou também incluir a pequena área de borda externa da aleta. Entre as hipóteses: a aleta está bem encaixada na base (temperatura da base =
), a área de contato com o tubo não contribui diretamente para convecção porque está em contato com o tubo, e os trechos do tubo entre as aletas (os “gaps”) trocam calor diretamente por convecção.
Passo 2
Calcular áreas relevantes da aleta (peguei estes dados da geometria acima).
Área das duas faces da aleta (anélio): é a área do anel vezes 2:
Substituindo:
Área da borda externa (circunferência externa
espessura):
Área total de convecção por aleta (faces + borda externa):
Comentário rápido: a área das faces domina; a borda externa é pequena, mas a considerei para maior precisão.
Passo 3
Calcular o parâmetro
e a eficiência da aleta
.
Definição usada (para aleta plana de espessura
perdendo calor por ambas as faces):
Substituindo
,
,
:
Calcular
:
Eficiência aproximada para aleta reta de seção constante (perda por ambas as faces):
Com
,
, logo
Interpretação física: a aleta está muito eficiente (
próximo de 1), ou seja, quase toda a área da aleta contribui com uma temperatura próxima da base.
Passo 4
Calcular o calor dissipado por uma aleta (modelo de aleta com eficiência
).
Fluxo por aleta:
Substituindo
,
,
,
:
Portanto, cada aleta dissipa cerca de
.
Passo 5
Calcular a contribuição total das aletas por metro de tubo.
Temos
aletas por metro, logo
Passo 6
Calcular a perda por convecção da superfície do tubo que fica exposta (entre as aletas).
Área externa total do tubo por metro:
.
As aletas ocupam axialmente por metro uma espessura total
. Então o comprimento axial livre (gaps) é
. A área do tubo exposta ao ar (entre aletas) por metro é
Perda por convecção dessa área:
Passo 7
Somar contribuições (aletas + trechos expostos do tubo) para obter a perda total por metro com as aletas.
Arredondando com um número razoável de dígitos:
.
Passo 8
Calcular a perda que ocorreria no tubo sem aletas (caso de comparação).
Área externa total do tubo por metro (já calculada):
Perda sem aletas:
Passo 9
Fazer a comparação quantitativa (fator e aumento percentual).
Fator de aumento:
Aumento percentual:
Interpretação rápida e incentivo: com as aletas descritas o tubo dissipa muito mais calor — cerca de
vezes — então as aletas são muito eficazes neste caso; não é surpresa dado o grande número de aletas e o alto coeficiente de convecção.
Resposta
Razão