(3,0 pontos)
Aletas em forma de disco circular de espessura constante, estão fixas sobre um tubo de 2,5 \mathrm{~cm} de diâmetro externo, com um espaçamento de 100 aletas por metro de tubo. As aletas são feitas de alumínio \left[\left(\mathrm{k}=160\left(\mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}\right)\right]\right., com a espessura de 1 mm e altura de 1 cm . A parede do tubo é mantida a \mathrm{T}_{\circ}=170^{\circ} \mathrm{C}, e o calor é dissipado por convecção para o ambiente a \mathrm{T}_{\infty}=30^{\circ} \mathrm{C}, com o coeficiente de transferência de calor \mathrm{h}=200 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}\right). Calcular a perda térmica para o ar ambiente, por metro de comprimento do tubo. Comparar esta perda térmica com a que ocorreria no tubo sem aletas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular a perda térmica por convecção para o ar ambiente, por metro de comprimento do tubo, quando o tubo tem as aletas descritas.
  2. Comparar essa perda térmica com a que ocorreria no tubo sem aletas.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • diâmetro externo do tubo: d=2{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}025\\ \mathrm{m};
  • espaçamento: 100 aletas por metro \Rightarrow número de aletas por metro N=100;
  • aletas em disco de espessura t=1\\ \mathrm{mm}=0{,}001\\ \mathrm{m} e altura (comprimento radial) L=1\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m};
  • condutividade do alumínio: k=160\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)};
  • parede do tubo a T_{b}=170^\circ\mathrm{C} (base das aletas);
  • ambiente a T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C} \Rightarrow \Delta T=T_{b}-T_{\infty}=140^\circ\mathrm{C};
  • coeficiente de convecção: h=200\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)}.
Informações geométricas que vou usar:
  • raio externo do tubo (base da aleta): r_i=d/2=0{,}0125\\ \mathrm{m};
  • raio externo da aleta: r_o=r_i+L=0{,}0125+0{,}01=0{,}0225\\ \mathrm{m}.
Antes de calcular, explico que procedimento vou usar (não é uma solução técnica completa com funções de Bessel): vou aproximar cada aleta disco como uma aleta de seção constante (modelo de aleta plana) usando a eficiência de aleta aproximada \eta=\dfrac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}, com
m=\sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}},
onde o fator 2 aparece porque a aleta perde calor por ambas as faces (superfícies superior e inferior). Essa é uma aproximação prática e bastante usada quando a espessura é pequena e mL não é muito grande. Vou também incluir a pequena área de borda externa da aleta. Entre as hipóteses: a aleta está bem encaixada na base (temperatura da base = T_b), a área de contato com o tubo não contribui diretamente para convecção porque está em contato com o tubo, e os trechos do tubo entre as aletas (os “gaps”) trocam calor diretamente por convecção.

Passo 2

Calcular áreas relevantes da aleta (peguei estes dados da geometria acima).
Área das duas faces da aleta (anélio): é a área do anel vezes 2:
A_{\text{faces}}=2\pi\bigl(r_o^2-r_i^2\bigr).
Substituindo:
A_{\text{faces}}=2\pi\bigl(0{,}0225^2-0{,}0125^2\bigr)=2\pi(0{,}00050625-0{,}00015625) =2\pi(0{,}00035)\approx0{,}0021991\\ \mathrm{m^2}.
Área da borda externa (circunferência externa \times espessura):
A_{\text{borda}}=2\pi r_o\,t=2\pi(0{,}0225)(0{,}001)\approx0{,}00014137\\ \mathrm{m^2}.
Área total de convecção por aleta (faces + borda externa):
A_f=A_{\text{faces}}+A_{\text{borda}}\approx0{,}0021991+0{,}00014137=0{,}0023405\\ \mathrm{m^2}.
Comentário rápido: a área das faces domina; a borda externa é pequena, mas a considerei para maior precisão.

Passo 3

Calcular o parâmetro m e a eficiência da aleta \eta.
Definição usada (para aleta plana de espessura t perdendo calor por ambas as faces):
m=\sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}}.
Substituindo h=200, k=160, t=0{,}001:
m=\sqrt{\dfrac{2\cdot200}{160\cdot0{,}001}}=\sqrt{\dfrac{400}{0{,}16}}=\sqrt{2500}=50\\ \mathrm{m^{-1}}.
Calcular mL:
mL=50\cdot0{,}01=0{,}5.
Eficiência aproximada para aleta reta de seção constante (perda por ambas as faces):
\eta=\dfrac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}.
Com mL=0{,}5, \operatorname{tanh}(0{,}5)\approx0{,}462117, logo
\eta=\dfrac{0{,}462117}{0{,}5}\approx0{,}92423.
Interpretação física: a aleta está muito eficiente ( \eta próximo de 1), ou seja, quase toda a área da aleta contribui com uma temperatura próxima da base.

Passo 4

Calcular o calor dissipado por uma aleta (modelo de aleta com eficiência \eta).
Fluxo por aleta:
Q_{\text{aleta}}=\eta\,h\,A_f\,\Delta T.
Substituindo \eta\approx0{,}92423, h=200, A_f\approx0{,}0023405\\ \mathrm{m^2}, \Delta T=140^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{aleta}}\approx0{,}92423\cdot200\cdot0{,}0023405\cdot140 \approx 60{,}57\\ \mathrm{W}.
Portanto, cada aleta dissipa cerca de 60{,}6\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Calcular a contribuição total das aletas por metro de tubo.
Temos N=100 aletas por metro, logo
Q_{\text{aletas, tot}}=N\cdot Q_{\text{aleta}}=100\cdot60{,}57\approx6057\\ \mathrm{W/m}.

Passo 6

Calcular a perda por convecção da superfície do tubo que fica exposta (entre as aletas).
Área externa total do tubo por metro: A_{\text{tubo, total}}=\pi d\cdot1=\pi(0{,}025)=0{,}0785398\\ \mathrm{m^2/m}.
As aletas ocupam axialmente por metro uma espessura total N\cdot t=100\cdot0{,}001=0{,}1\\ \mathrm{m}. Então o comprimento axial livre (gaps) é 1-0{,}1=0{,}9\\ \mathrm{m}. A área do tubo exposta ao ar (entre aletas) por metro é
A_{\text{tubo, exp}}=\pi d\cdot(1-Nt)=\pi d\cdot0{,}9\approx0{,}0785398\cdot0{,}9=0{,}0706858\\ \mathrm{m^2}.
Perda por convecção dessa área:
Q_{\text{tubo, gaps}}=h\,A_{\text{tubo, exp}}\,\Delta T =200\cdot0{,}0706858\cdot140\approx1979{,}2\\ \mathrm{W/m}.

Passo 7

Somar contribuições (aletas + trechos expostos do tubo) para obter a perda total por metro com as aletas.
Q_{\text{total com aletas}}=Q_{\text{aletas, tot}}+Q_{\text{tubo, gaps}} \approx6057+1979{,}2\approx8036\\ \mathrm{W/m}.
Arredondando com um número razoável de dígitos: Q_{\text{com aletas}}\approx8{,}04\times10^{3}\\ \mathrm{W/m}.

Passo 8

Calcular a perda que ocorreria no tubo sem aletas (caso de comparação).
Área externa total do tubo por metro (já calculada):
A_{\text{tubo, total}}=\pi d\approx0{,}0785398\\ \mathrm{m^2/m}.
Perda sem aletas:
Q_{\text{sem aletas}}=h\,A_{\text{tubo, total}}\,\Delta T =200\cdot0{,}0785398\cdot140\approx2199{,}1\\ \mathrm{W/m}.

Passo 9

Fazer a comparação quantitativa (fator e aumento percentual).
Fator de aumento:
\text{fator}=\dfrac{Q_{\text{com aletas}}}{Q_{\text{sem aletas}}}\approx\dfrac{8036}{2199{,}1}\approx3{,}66.
Aumento percentual:
\text{aumento}\approx(3{,}66-1)\times100\%\approx266\%.
Interpretação rápida e incentivo: com as aletas descritas o tubo dissipa muito mais calor — cerca de 3{,}66 vezes — então as aletas são muito eficazes neste caso; não é surpresa dado o grande número de aletas e o alto coeficiente de convecção.

Resposta

Q_{\text{com aletas}}\approx8{,}04\times10^{3}\\ \mathrm{W/m}
Q_{\text{sem aletas}}\approx2{,}199\times10^{3}\\ \mathrm{W/m}
Razão \dfrac{Q_{\text{com}}}{Q_{\text{sem}}}\approx3{,}66 (aumento ≈ 266\%).

Exercícios relacionados