No processo de produção de lâmpadas, observa-se que ela é resfriada de
até
em 11 s , no inverno, quando a temperatura ambiente média é cerca de
.
pede-se determinar em quanto tempo ela irá resfriar até
, supondo que as mesmas condições sejam mantidas ao longo de todo o processo de resfriamento. O diâmetro da lâmpada é de 10 cm , e a espessura é de
. O vidro utilizado tem massa específica igual a 2600
e o calor específico igual a
.
pede-se determinar em quanto tempo ela irá resfriar até
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi fornecido):
- Temperatura inicial da lâmpada:
. - Depois de
a lâmpada tem temperatura . - Temperatura ambiente média:
. - Diâmetro da lâmpada:
. - Espessura do vidro:
. - Massa específica do vidro:
. - Calor específico do vidro:
.
O que o problema pede:
- Determinar o tempo
necessário para a lâmpada resfriar até , supondo que as mesmas condições se mantêm.
Passo 2
Modelagem física e aproximação geométrica (cálculo da massa):
- Para uma lâmpada fina podemos aproximar o volume do vidro pela área da superfície da esfera vezes a espessura (casca esférica fina). O raio da esfera é
- A área da superfície da esfera é
- Volume aproximado do vidro (casca fina):
- Massa do vidro:
Agora calculando numericamente:
Portanto a massa é aproximadamente
(cerca de
).
Passo 3
Capacidade térmica do corpo (calor térmico armazenável):
- A capacidade térmica total (ou calor térmico) do objeto é
, onde -
é a massa (em ), -
é o calor específico (em ).
-
- Calculando:
Isto significa que para mudar a temperatura do bulbo em
é preciso cerca de
.
Passo 4
Lei do resfriamento de Newton e sua solução (aula rápida):
- A Lei de Newton do resfriamento diz que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a sua temperatura e a temperatura ambiente:
onde
-
é a temperatura do objeto no tempo , -
é a temperatura do meio (ambiente), -
é uma constante positiva que depende da transferência de calor (convecção, radiação) e da capacidade térmica do corpo. - A solução dessa equação diferencial (com
) é
- Observação prática: diferenças em graus Celsius e em kelvin são numericamente equivalentes para variações, então usar
nas diferenças está ok.
Passo 5
Determinar a constante
a partir do dado experimental (400°C → 45°C em 11 s):
- Usando a solução, para
temos
- Isolando
:
- Tomando logaritmo natural e resolvendo para
:
- Calculando numericamente:
Portanto
.
Passo 6
Calcular o tempo necessário para chegar a
:
- Queremos
tal que . Usando a solução:
- Isolando o exponencial:
- Tomando logaritmo e resolvendo para
:
- Substituindo
:
Logo, a partir do instante inicial
(quando
), a lâmpada atinge
cerca de
.
Passo 7
Comentário final e checagem (rápida):
- Faz sentido físico: para cair de
a levou ; para chegar a leva mais alguns segundos porque já está mais próxima do ambiente. O resultado numérico é coerente. - (Opcional) Se quisermos estimar o coeficiente convectivo médio
, usamos a relação . Com os valores calculados dá da ordem de , um valor plausível para convecção natural/forçada fraca sobre vidro fino — isto apenas para dar intuição de ordem de grandeza.