No processo de produção de lâmpadas, observa-se que ela é resfriada de 400^{\circ} \mathrm{C} até 45^{\circ} \mathrm{C} em 11 s , no inverno, quando a temperatura ambiente média é cerca de 28^{\circ} \mathrm{C}.
pede-se determinar em quanto tempo ela irá resfriar até 35^{\circ} \mathrm{C}, supondo que as mesmas condições sejam mantidas ao longo de todo o processo de resfriamento. O diâmetro da lâmpada é de 10 cm , e a espessura é de 0,02 \mathrm{~mm}. O vidro utilizado tem massa específica igual a 2600 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} e o calor específico igual a 780 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • Temperatura inicial da lâmpada: T_0=400^{\circ}\mathrm{C}.
  • Depois de 11\\ \mathrm{s} a lâmpada tem temperatura T(11)=45^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura ambiente média: T_{\mathrm{amb}}=28^{\circ}\mathrm{C}.
  • Diâmetro da lâmpada: D=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Espessura do vidro: t=0{,}02\\ \mathrm{mm}=2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Massa específica do vidro: \rho=2600\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Calor específico do vidro: c=780\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
O que o problema pede:
  • Determinar o tempo t necessário para a lâmpada resfriar até 35^{\circ}\mathrm{C}, supondo que as mesmas condições se mantêm.

Passo 2

Modelagem física e aproximação geométrica (cálculo da massa):
  • Para uma lâmpada fina podemos aproximar o volume do vidro pela área da superfície da esfera vezes a espessura (casca esférica fina). O raio da esfera é
r=\frac{D}{2}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • A área da superfície da esfera é
A=4\pi r^{2}=4\pi(0{,}05)^2=4\pi\cdot0{,}0025=0{,}01\pi\\ \mathrm{m}^2.
  • Volume aproximado do vidro (casca fina):
V\approx A\cdot t=0{,}01\pi\cdot 2{,}0\times10^{-5}=2{,}0\times10^{-7}\pi\\ \mathrm{m}^3.
  • Massa do vidro:
m=\rho V=\rho A t=2600\cdot 2{,}0\times10^{-7}\pi \\ \mathrm{kg}.
Agora calculando numericamente:
V\approx 2{,}0\times10^{-7}\pi \approx 6{,}2832\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^3,
m\approx 2600\cdot 6{,}2832\times10^{-7}\approx 1{,}6336\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}.
Portanto a massa é aproximadamente m\approx 1{,}6336\times10^{-3}\\ \mathrm{kg} (cerca de 1{,}63\\ \mathrm{g}).

Passo 3

Capacidade térmica do corpo (calor térmico armazenável):
  • A capacidade térmica total (ou calor térmico) do objeto é C=m c, onde
    • m é a massa (em \mathrm{kg}),
    • c é o calor específico (em \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})).
  • Calculando:
C=m c \approx 1{,}6336\times10^{-3}\cdot 780 \approx 1{,}2732\\ \mathrm{J}/\mathrm{K}.
Isto significa que para mudar a temperatura do bulbo em 1\\ \mathrm{K} é preciso cerca de 1{,}27\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Lei do resfriamento de Newton e sua solução (aula rápida):
  • A Lei de Newton do resfriamento diz que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a sua temperatura e a temperatura ambiente:
\frac{dT}{dt}=-k\bigl(T(t)-T_{\mathrm{amb}}\bigr),
onde
  • T(t) é a temperatura do objeto no tempo t,
  • T_{\mathrm{amb}} é a temperatura do meio (ambiente),
  • k é uma constante positiva que depende da transferência de calor (convecção, radiação) e da capacidade térmica do corpo.
  • A solução dessa equação diferencial (com T(0)=T_0) é
T(t)=T_{\mathrm{amb}}+\bigl(T_0-T_{\mathrm{amb}}\bigr)e^{-k t}.
  • Observação prática: diferenças em graus Celsius e em kelvin são numericamente equivalentes para variações, então usar ^{\circ}\mathrm{C} nas diferenças está ok.

Passo 5

Determinar a constante k a partir do dado experimental (400°C → 45°C em 11 s):
  • Usando a solução, para t=11\\ \mathrm{s} temos
T(11)=T_{\mathrm{amb}}+(T_0-T_{\mathrm{amb}})e^{-k\cdot 11}.
  • Isolando e^{-11k}:
e^{-11k}=\frac{T(11)-T_{\mathrm{amb}}}{T_0-T_{\mathrm{amb}}} =\frac{45-28}{400-28}=\frac{17}{372}\approx 0{,}0456989.
  • Tomando logaritmo natural e resolvendo para k:
-11k=\ln\!\left(\frac{17}{372}\right)\quad\Rightarrow\quad k=-\frac{1}{11}\ln\!\left(\frac{17}{372}\right).
  • Calculando numericamente:
\ln\!\left(\frac{17}{372}\right)\approx -3{,}0854\quad\Rightarrow\quad k\approx \frac{3{,}0854}{11}\approx 0{,}2805\\ \mathrm{s}^{-1}.
Portanto k\approx 0{,}2805\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 6

Calcular o tempo necessário para chegar a 35^{\circ}\mathrm{C}:
  • Queremos t tal que T(t)=35^{\circ}\mathrm{C}. Usando a solução:
35=28+(400-28)e^{-k t}.
  • Isolando o exponencial:
e^{-k t}=\frac{35-28}{400-28}=\frac{7}{372}\approx 0{,}0188172.
  • Tomando logaritmo e resolvendo para t:
-k t=\ln\!\left(\frac{7}{372}\right)\quad\Rightarrow\quad t=-\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{7}{372}\right).
  • Substituindo k\approx 0{,}2805\\ \mathrm{s}^{-1}:
\ln\!\left(\frac{7}{372}\right)\approx -3{,}9707,
t\approx \frac{3{,}9707}{0{,}2805}\approx 14{,}16\\ \mathrm{s}.
Logo, a partir do instante inicial t=0 (quando T=400^{\circ}\mathrm{C}), a lâmpada atinge 35^{\circ}\mathrm{C} cerca de 14{,}16\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Comentário final e checagem (rápida):
  • Faz sentido físico: para cair de 400^{\circ}\mathrm{C} a 45^{\circ}\mathrm{C} levou 11\\ \mathrm{s}; para chegar a 35^{\circ}\mathrm{C} leva mais alguns segundos porque já está mais próxima do ambiente. O resultado numérico é coerente.
  • (Opcional) Se quisermos estimar o coeficiente convectivo médio h, usamos a relação k=\dfrac{hA}{m c}. Com os valores calculados dá h da ordem de 10\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\mathrm{K}), um valor plausível para convecção natural/forçada fraca sobre vidro fino — isto apenas para dar intuição de ordem de grandeza.

Resposta

t\approx 14{,}16\\ \mathrm{s}

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