No processo de produção de lâmpadas, observa-se que ela é resfriada de 400^{\circ} \mathrm{C} até 45^{\circ} \mathrm{C} em 11 s , no inverno, quando a temperatura ambiente média é cerca de 28^{\circ} \mathrm{C}.
No verão, quando a temperatura ambiente for da ordem de 36^{\circ} \mathrm{C}, qual será a temperatura alcançada após os mesmos 11 segundos?
Passo 1
O enunciado dá um processo de resfriamento da lâmpada. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
Informação 1: temperatura inicial da lâmpada antes do resfriamento: \,T_0=400^\circ\mathrm{C}\,.
Informação 2: temperatura ambiente no inverno: \,T_{a,\text{inverno}}=28^\circ\mathrm{C}\,.
Informação 3: após 11 s, no inverno, a lâmpada alcança \,T(11)=45^\circ\mathrm{C}\,.
Informação 4: temperatura ambiente no verão: \,T_{a,\text{verao}}=36^\circ\mathrm{C}\,.
Pedido: qual será a temperatura da lâmpada após os mesmos 11 s no verão, ou seja, encontrar \,T_{\text{verao}}(11)\,.
Passo 2
Qual equação física/modelo usar: Newton do resfriamento. Vou explicar a lei e as variáveis de maneira bem didática.
A Lei de Newton do resfriamento diz que a velocidade de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente. Em forma de equação diferencial:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T-T_a\bigr),
onde:
\,T(t)\, é a temperatura do corpo no tempo t,
\,T_a\, é a temperatura ambiente (constante durante o processo),
\,k>0\, é a constante de proporcionalidade (constante de resfriamento) que depende das propriedades do corpo e do ambiente,
o sinal negativo indica que, se T>T_a, a temperatura diminui.
Agora, resolvemos essa equação diferencial (passo a passo, sem pular etapas).
Passo 3
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis.
Começo com:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T-T_a\bigr).
Separe as variáveis T e t:
\frac{dT}{T-T_a} = -k\,dt.
Integre ambos os lados. A integral de 1/(T-T_a) em relação a T é \ln|T-T_a|. Assim:
Como aqui T>T_a inicialmente, podemos tirar o valor absoluto:
T-T_a = A\,e^{-kt},
onde \,A=e^{C} é uma constante positiva.
Usando a condição inicial no instante t=0: T(0)=T_0. Então
T_0 - T_a = A\,e^{0} = A.
Logo a solução geral é
T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,e^{-kt}.
Agora sabemos a fórmula que usamos em problemas de resfriamento: T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}. Vou explicar: a diferença entre a temperatura do corpo e a ambiente decai exponencialmente com taxa k.
Passo 4
Usar os dados do inverno para obter a constante relacionada a e^{-k t} (não é preciso calcular k numericamente para poder comparar tempos iguais).
No inverno temos \,T_a=28^\circ\mathrm{C}, T_0=400^\circ\mathrm{C} e T(11)=45^\circ\mathrm{C}.
Aplicando a fórmula em t=11:
45 = 28 + (400-28)\,e^{-11k}.
Subtraindo 28 dos dois lados:
45-28 = (400-28)\,e^{-11k}.
Simplificando os números:
17 = 372\,e^{-11k}.
Isolando o termo exponencial:
e^{-11k} = \frac{17}{372}.
Observação importante e muito útil: esse valor de e^{-11k} é determinado apenas pelos dados do inverno. Se o processo físico (mesmo objeto, mesma peça) tem a mesma constante k independentemente da temperatura ambiente, então para qualquer outro ambiente a proporção \,e^{-11k}\, é a mesma, pois depende só de k e do tempo 11 s.
Passo 5
Calcular a temperatura no verão usando o mesmo tempo t=11 s e \,T_a=36^\circ\mathrm{C}.