No processo de produção de lâmpadas, observa-se que ela é resfriada de 400^{\circ} \mathrm{C} até 45^{\circ} \mathrm{C} em 11 s , no inverno, quando a temperatura ambiente média é cerca de 28^{\circ} \mathrm{C}.
No verão, quando a temperatura ambiente for da ordem de 36^{\circ} \mathrm{C}, qual será a temperatura alcançada após os mesmos 11 segundos?

Passo 1

O enunciado dá um processo de resfriamento da lâmpada. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
  • Informação 1: temperatura inicial da lâmpada antes do resfriamento: \,T_0=400^\circ\mathrm{C}\,.
  • Informação 2: temperatura ambiente no inverno: \,T_{a,\text{inverno}}=28^\circ\mathrm{C}\,.
  • Informação 3: após 11 s, no inverno, a lâmpada alcança \,T(11)=45^\circ\mathrm{C}\,.
  • Informação 4: temperatura ambiente no verão: \,T_{a,\text{verao}}=36^\circ\mathrm{C}\,.
  • Pedido: qual será a temperatura da lâmpada após os mesmos 11 s no verão, ou seja, encontrar \,T_{\text{verao}}(11)\,.

Passo 2

Qual equação física/modelo usar: Newton do resfriamento. Vou explicar a lei e as variáveis de maneira bem didática.
  • A Lei de Newton do resfriamento diz que a velocidade de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente. Em forma de equação diferencial:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T-T_a\bigr),
onde:
  • \,T(t)\, é a temperatura do corpo no tempo t,
  • \,T_a\, é a temperatura ambiente (constante durante o processo),
  • \,k>0\, é a constante de proporcionalidade (constante de resfriamento) que depende das propriedades do corpo e do ambiente,
  • o sinal negativo indica que, se T>T_a, a temperatura diminui.
Agora, resolvemos essa equação diferencial (passo a passo, sem pular etapas).

Passo 3

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis.
  • Começo com:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T-T_a\bigr).
  • Separe as variáveis T e t:
\frac{dT}{T-T_a} = -k\,dt.
  • Integre ambos os lados. A integral de 1/(T-T_a) em relação a T é \ln|T-T_a|. Assim:
\int \frac{dT}{T-T_a} = \int -k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln\bigl|T-T_a\bigr| = -kt + C,
onde C é a constante de integração.
  • Exponenciando ambos os lados para eliminar o log:
\bigl|T-T_a\bigr| = e^{C} e^{-kt}.
Como aqui T>T_a inicialmente, podemos tirar o valor absoluto:
T-T_a = A\,e^{-kt},
onde \,A=e^{C} é uma constante positiva.
  • Usando a condição inicial no instante t=0: T(0)=T_0. Então
T_0 - T_a = A\,e^{0} = A.
Logo a solução geral é
T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,e^{-kt}.
Agora sabemos a fórmula que usamos em problemas de resfriamento: T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}. Vou explicar: a diferença entre a temperatura do corpo e a ambiente decai exponencialmente com taxa k.

Passo 4

Usar os dados do inverno para obter a constante relacionada a e^{-k t} (não é preciso calcular k numericamente para poder comparar tempos iguais).
  • No inverno temos \,T_a=28^\circ\mathrm{C}, T_0=400^\circ\mathrm{C} e T(11)=45^\circ\mathrm{C}.
  • Aplicando a fórmula em t=11:
45 = 28 + (400-28)\,e^{-11k}.
  • Subtraindo 28 dos dois lados:
45-28 = (400-28)\,e^{-11k}.
  • Simplificando os números:
17 = 372\,e^{-11k}.
  • Isolando o termo exponencial:
e^{-11k} = \frac{17}{372}.
Observação importante e muito útil: esse valor de e^{-11k} é determinado apenas pelos dados do inverno. Se o processo físico (mesmo objeto, mesma peça) tem a mesma constante k independentemente da temperatura ambiente, então para qualquer outro ambiente a proporção \,e^{-11k}\, é a mesma, pois depende só de k e do tempo 11 s.

Passo 5

Calcular a temperatura no verão usando o mesmo tempo t=11 s e \,T_a=36^\circ\mathrm{C}.
  • Pela fórmula geral:
T_{\text{verao}}(11) = T_{a,\text{verao}} + (T_0 - T_{a,\text{verao}})\,e^{-11k}.
  • Substituindo T_{a,\text{verao}}=36, T_0=400 e o valor de e^{-11k}=\dfrac{17}{372} que obtivemos:
T_{\text{verao}}(11) = 36 + (400-36)\,\frac{17}{372}.
  • Calcule a diferença 400-36:
400-36 = 364,
logo
T_{\text{verao}}(11) = 36 + 364\cdot\frac{17}{372}.

Passo 6

Fazer as simplificações aritméticas passo a passo (sem pular etapas) para obter uma forma numérica.
  • Primeiro simplificar a fração \dfrac{364}{372}. Ambas são divisíveis por 4:
\frac{364}{372} = \frac{364\div4}{372\div4} = \frac{91}{93}.
  • Portanto
T_{\text{verao}}(11) = 36 + \frac{91}{93}\cdot 17.
  • Multiplicando 91 por 17:
91\cdot17 = 91\cdot(10+7)=910+637=1547.
  • Então
T_{\text{verao}}(11) = 36 + \frac{1547}{93}.
  • Agora dividimos 1547 por 93. Fazer a divisão inteira:
    • 93\cdot16 = 1488, resto 1547-1488=59.
    • Assim \dfrac{1547}{93}=16+\dfrac{59}{93}.
  • A fração \dfrac{59}{93} corresponde aproximadamente a 0{,}6344 (pois 59\div93\approx0{,}6344).
  • Portanto \dfrac{1547}{93}\approx16{,}6344.
  • Assim a expressão fica
T_{\text{verao}}(11) \approx 36 + 16{,}6344.

Resposta

\,52{,}6344^\circ\mathrm{C}\approx52{,}63^\circ\mathrm{C}

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