Um dos pontos mais altos do Brasil é o Pico da Neblina, no estado do Amazonas, o qual possui uma altitude de 2993,8 \mathrm{~m}. Considerando que ao nível do mar (pressão 1 atm ), a concentração de oxigênio na atmosfera é de 21 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3}(21 \%), calcule a concentração de oxigênio no topo do Pico da Neblina, a 10^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{R}: 14,6 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.\n
  • Pedido: calcular a concentração de oxigênio no topo do Pico da Neblina, a 2993{,}8\\ \mathrm{m}, sabendo que a temperatura lá é 10^\circ\mathrm{C}.\n
  • Dados fornecidos pelo enunciado: concentração de oxigênio ao nível do mar (pressão 1\\ \mathrm{atm}) é 21\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3} (ou seja, 21\% em massa/volume nesse contexto) e altitude do pico z=2993{,}8\\ \mathrm{m}.\n
  • Dados físicos que vamos usar (valores usuais): g=9{,}8\\ \mathrm{m/s}^{2}, constante dos gases R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\\ K)}, massa molar média do ar M=0{,}029\\ \mathrm{kg/mol}.\n
  • Temperatura no topo: converter 10^\circ\mathrm{C} para Kelvin: T=10+273{,}15=283{,}15\\ \mathrm{K}.\n
    Pronto — agora sabemos exatamente o que pedem e quais números temos para trabalhar. A partir daqui vamos desenvolver a relação que liga pressão (ou densidade do ar) com a altitude e usá‑la para obter a concentração de oxigênio.

Passo 2

Como a pressão e a densidade do ar variam com a altitude — ideia física e equação diferencial.\n
  • Começamos pela condição de equilíbrio vertical (equilíbrio hidrostático): a variação de pressão com a altura é dada por
\frac{dp}{dz} = -\rho\,g,
onde \;p=p(z)\; é a pressão, \rho=\rho(z) é a densidade do ar e \;g\; é a aceleração da gravidade.\n
  • Relacionamos densidade e pressão usando a lei dos gases ideais para um gás cuja massa molar média é M:
\rho = \frac{p\,M}{R\,T}.
Aqui \rho é a massa por volume do ar ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3), p é a pressão ( \mathrm{Pa}), M é a massa molar média do ar ( \mathrm{kg}/\mathrm{mol}), R é a constante dos gases e T é a temperatura absoluta ( \mathrm{K}).\n
  • Substituindo \rho na equação do equilíbrio:
\frac{dp}{dz} = -\frac{p\,M}{R\,T}\,g.
Isso é uma equação diferencial simples separável.

Passo 3

Integração da equação e expressão da pressão com a altitude.\n
  • Separando variáveis e integrando de z=0 (nível do mar) até z:
\int_{p_0}^{p(z)}\frac{1}{p}\,dp = -\int_{0}^{z}\frac{M g}{R T}\,dz.
  • A integral dá:
\ln\!\bigg(\frac{p(z)}{p_0}\bigg) = -\frac{M g z}{R T}.
  • Exponenciando:
p(z) = p_0 \exp\!\Big(-\frac{M g z}{R T}\Big).
Esta é a relação (para atmosfera aproximadamente isoterma) que nos dá a queda da pressão com a altitude. Aqui p_0 é a pressão ao nível do mar.

Passo 4

Relação entre concentração de oxigênio e pressão; razão direta.\n
  • A concentração de oxigênio em massa por volume (por exemplo em \mathrm{g}/\mathrm{m}^3) é proporcional à densidade do ar, e — se a fração de oxigênio ( 21\%) se mantém aproximadamente constante — a concentração de oxigênio varia na mesma proporção que a pressão quando a temperatura é constante. Logo:
c_{\mathrm{O_2}}(z) = c_{\mathrm{O_2}}(0)\,\frac{p(z)}{p_0}.
Aqui c_{\mathrm{O_2}}(0)=21\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3} é a concentração ao nível do mar.\n
  • Então basta calcular o fator \dfrac{p(z)}{p_0}=\exp\!\big(-\dfrac{M g z}{R T}\big) para z=2993{,}8\\ \mathrm{m} e T=283{,}15\\ \mathrm{K}.\n
    Calculemos passo a passo os termos numéricos (usar vírgula como separador decimal conforme pedido):\n
M g z = 0{,}029\cdot 9{,}8\cdot 2993{,}8 \approx 850{,}84
R T = 8{,}314\cdot 283{,}15 \approx 2354{,}11
\frac{M g z}{R T} \approx \frac{850{,}84}{2354{,}11} \approx 0{,}3614
\frac{p(z)}{p_0} = \exp(-0{,}3614) \approx 0{,}6969.
  • Finalmente, a concentração de oxigênio no topo é
c_{\mathrm{O_2}}(z)=21\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}\times 0{,}6969 \approx 14{,}6349\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 5

Arredondamento final, interpretação e ânimo.\n
  • Arredondando para uma casa decimal (como no gabarito), obtemos 14{,}6\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}.\n
  • Interpretação rápida: subir quase 3{,}0\\ \mathrm{km} reduz a concentração de oxigênio em massa por volume em cerca de 30\% comparado ao nível do mar — é por isso que o ar “fica mais rarefeito” nas altitudes. Você já mandou bem chegando até aqui — agora só decorar o raciocínio: equilíbrio hidrostático + lei dos gases + proporcionalidade da concentração com a pressão.

Resposta

\,14{,}6\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}

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