Um dos pontos mais altos do Brasil é o Pico da Neblina, no estado do Amazonas, o qual possui uma altitude de
. Considerando que ao nível do mar (pressão 1 atm ), a concentração de oxigênio na atmosfera é de
, calcule a concentração de oxigênio no topo do Pico da Neblina, a
.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos.\n
- Pedido: calcular a concentração de oxigênio no topo do Pico da Neblina, a
, sabendo que a temperatura lá é .\n - Dados fornecidos pelo enunciado: concentração de oxigênio ao nível do mar (pressão
) é (ou seja, em massa/volume nesse contexto) e altitude do pico .\n - Dados físicos que vamos usar (valores usuais):
, constante dos gases , massa molar média do ar .\n - Temperatura no topo: converter
para Kelvin: .\n
Pronto — agora sabemos exatamente o que pedem e quais números temos para trabalhar. A partir daqui vamos desenvolver a relação que liga pressão (ou densidade do ar) com a altitude e usá‑la para obter a concentração de oxigênio.
Passo 2
Como a pressão e a densidade do ar variam com a altitude — ideia física e equação diferencial.\n
- Começamos pela condição de equilíbrio vertical (equilíbrio hidrostático): a variação de pressão com a altura é dada por
onde
é a pressão,
é a densidade do ar e
é a aceleração da gravidade.\n
- Relacionamos densidade e pressão usando a lei dos gases ideais para um gás cuja massa molar média é
:
Aqui
é a massa por volume do ar (
),
é a pressão (
),
é a massa molar média do ar (
),
é a constante dos gases e
é a temperatura absoluta (
).\n
- Substituindo
na equação do equilíbrio:
Isso é uma equação diferencial simples separável.
Passo 3
Integração da equação e expressão da pressão com a altitude.\n
- Separando variáveis e integrando de
(nível do mar) até :
- A integral dá:
- Exponenciando:
Esta é a relação (para atmosfera aproximadamente isoterma) que nos dá a queda da pressão com a altitude. Aqui
é a pressão ao nível do mar.
Passo 4
Relação entre concentração de oxigênio e pressão; razão direta.\n
- A concentração de oxigênio em massa por volume (por exemplo em
) é proporcional à densidade do ar, e — se a fração de oxigênio ( ) se mantém aproximadamente constante — a concentração de oxigênio varia na mesma proporção que a pressão quando a temperatura é constante. Logo:
Aqui
é a concentração ao nível do mar.\n
- Então basta calcular o fator
para e .\n
Calculemos passo a passo os termos numéricos (usar vírgula como separador decimal conforme pedido):\n
- Finalmente, a concentração de oxigênio no topo é
Passo 5
Arredondamento final, interpretação e ânimo.\n
- Arredondando para uma casa decimal (como no gabarito), obtemos
.\n - Interpretação rápida: subir quase
reduz a concentração de oxigênio em massa por volume em cerca de comparado ao nível do mar — é por isso que o ar “fica mais rarefeito” nas altitudes. Você já mandou bem chegando até aqui — agora só decorar o raciocínio: equilíbrio hidrostático + lei dos gases + proporcionalidade da concentração com a pressão.