1- (3 pontos) A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento v e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função h=f(v, t) são apresentados na seguinte tabela. A) Use a tabela para determinar a taxa de variação da altura da onda quando a velocidade está próxima de 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e próximo da duração de 15 horas. B) Através de aproximações lineares, faça uma estimativa para altura da onde quando a velocidade do vento for 105 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e a duração com duração de 16 horas.
Duração (horas)
Velocidade do vento ( \mathrm{km} / \mathrm{h} )
t
v
5 10 15 20 30 40 50
40 1,5 2,2 2,4 2,5 2,7 2,8 2,8
60 2,8 4,0 4,9 5,2 5,5 5,8 5,9
80 4,3 6,4 7,7 8,6 9,5 10,1 10,2
100 5,8 8,9 11,0 12,2 13,8 14,7 15,3
120 7,4 11,3 14,4 16,6 19,0 20,5 21,1

Passo 1

O enunciado dá a função altura de onda h=f(v,t) por meio de uma tabela em que v é a velocidade do vento em \mathrm{km/h} e t é a duração em horas. Pede-se:
A) as taxas de variação parciais \frac{\partial f}{\partial v} e \frac{\partial f}{\partial t} em (v,t)=(100,15);
B) usar a aproximação linear em (100,15) para estimar f(105,16).

Passo 2

Para aproximar
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}(100,15)
usamos diferença central em v com v=80 e v=120 (mantendo t=15):
\frac{\partial f}{\partial v}(100,15) \approx \frac{f(120,15)-f(80,15)}{120-80} = \frac{14,4-7,7}{40} = \frac{6,7}{40} =0,1675 \approx 0,168.

Passo 3

Para aproximar
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}(100,15)
usamos diferença central em t com t=10 e t=20 (mantendo v=100):
\frac{\partial f}{\partial t}(100,15) \approx \frac{f(100,20)-f(100,10)}{20-10} = \frac{12,2-8,9}{10} = \frac{3,3}{10} =0,33.

Passo 4

Portanto, o gradiente em (100,15) é
\nabla f(100,15) \approx \bigl(0,168,\;0,33\bigr),
ou seja, perto desse ponto aumentar v em 1 \mathrm{km/h} eleva h em \approx0,168 unidades, e aumentar t em 1 \mathrm{h} eleva h em \approx0,33 unidades.

Passo 5

A aproximação linear em (100,15) diz
f(105,16) \approx f(100,15) + \frac{\partial f}{\partial v}(100,15)\cdot(105-100) + \frac{\partial f}{\partial t}(100,15)\cdot(16-15).
Substituindo f(100,15)=11,0, \Delta v=5 e \Delta t=1:
f(105,16) \approx 11,0 + 0,168\cdot 5 + 0,33\cdot 1 = 11,0 + 0,84 + 0,33 = 12,17.

Resposta

A) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}(100,15)\approx0,168, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}(100,15)\approx0,33.
B) Estimativa f(105,16)\approx12,17.

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