Resolva a equação em \Re_{+}
x^{2 x^{2}-7 x+4}=x
(valor: 1,0 ponto extra)

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R}_{+} a equação
x^{2x^{2}-7x+4}=x.
O conteúdo aqui é equação exponencial com base variável. Para resolver, vamos considerar casos em que podemos usar logaritmo e também verificar se há soluções especiais como x=1.

Passo 2

Como x>0, podemos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados sem mudar a equivalência. Tomando \ln em
x^{2x^{2}-7x+4}=x
obtemos
\bigl(2x^{2}-7x+4\bigr)\ln x = \ln x.

Passo 3

Reorganizando a equação resultante, subtraímos \ln x de ambos os lados e fatoramos:
\bigl(2x^{2}-7x+4\bigr)\ln x - \ln x =0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(2x^{2}-7x+4 -1\bigr)\ln x =0
ou seja
(2x^{2}-7x+3)\,\ln x =0.

Passo 4

O produto igual a zero implica duas possibilidades:
  1. \ln x = 0, ou
  2. 2x^{2}-7x+3 = 0.

Passo 5

Da primeira possibilidade temos
\ln x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.
Para a segunda, resolvemos a equação quadrática
2x^{2}-7x+3 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-7)^{2} - 4\cdot2\cdot3 = 49 - 24 = 25,
logo as raízes são
x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2\cdot2} = \frac{7 \pm 5}{4},
isto é,
x = \frac{12}{4} = 3 \quad\text{ou}\quad x = \frac{2}{4} = \tfrac12.

Passo 6

Todas as soluções encontradas são positivas e satisfazem a equação original (pode-se verificar que o expoente em x=\tfrac12 e em x=3 vale 1, fazendo x^1=x). Portanto, as soluções em \mathbb{R}_{+} são
x = \tfrac12,\quad x = 1,\quad x = 3.

Resposta

As soluções em \mathbb{R}_{+} são
\tfrac12,\;1,\;3.

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