(2,5 pontos) A área de uma superfície
parametrizada por
, com
, é dada por
. Calcule a área da superfície da parte do paraboloide
com
.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do paraboloide
com
. Vamos usar a fórmula de área de superfície parametrizada
Passo 2
Parametrizamos a superfície tomando
u=y e
v=z , logo
e o domínio
D é o disco
pois a condição
x>=-4 equivale a
-u^2-v^2>=-4 .
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
O produto vetorial é
e sua norma
Passo 4
Em coordenadas polares no plano
(u,v) :
com
dA=r,dr,dtheta . Assim
Passo 5
Para
integral0^2rraiz1+4r^2,dr , faça
t=1+4r^2 ,
dt=8r,dr . Quando
r=0 ,
t=1 ; quando
r=2 ,
t=17 . Então
Portanto