(2,5 pontos) A área de uma superfície S parametrizada por r(u, v), com (u, v) in D, é dada por A(S)=integral duplaD|ru times rv| d A. Calcule a área da superfície da parte do paraboloide x=-y^2-z^2 com x >=-4.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do paraboloide x=-y^2-z^2 com x>=-4. Vamos usar a fórmula de área de superfície parametrizada
A(S)=integral duplaDl|rutimes rvr|,dA

Passo 2

Parametrizamos a superfície tomando u=y e v=z, logo
r(u,v)=(-u^2-v^2,,u,,v),
e o domínio D é o disco
u^2+v^2<=4
pois a condição x>=-4 equivale a -u^2-v^2>=-4.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
ru=(-2u,,1,,0), rv=(-2v,,0,,1)
O produto vetorial é
rutimes rv=(1,,2u,,2v)
e sua norma
l|rutimes rvr| =raiz1+4u^2+4v^2

Passo 4

Em coordenadas polares no plano (u,v):
u=rcostheta, v=rsintheta, rin[0,2],;thetain[0,2pi],
com dA=r,dr,dtheta. Assim
A =integral duplaDraiz1+4(u^2+v^2),dA =integral0^2pi!!integral0^2 raiz1+4r^2;r,dr,dtheta =2piintegral0^2rraiz1+4r^2,dr

Passo 5

Para integral0^2rraiz1+4r^2,dr, faça t=1+4r^2, dt=8r,dr. Quando r=0, t=1; quando r=2, t=17. Então
integral0^2rraiz1+4r^2,dr =18integral1^17t^1/2,dt =18cdot23l[t^3/2r]1^17 =112l(17^3/2-1r)
Portanto
A =2picdot112l(17^3/2-1r) =pi6l(17raiz17-1r)

Resposta

A = pi6l(17raiz17-1r)

Exercícios relacionados