(2,5 pontos) Considere a função
definida por
, sendo
constante.
(a) Determine o campo vetorial
dado por
.
(b) Calcule
, sendo
uma curva que vai do ponto
ao ponto
.
(a) Determine o campo vetorial
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado nos dá a função
onde
é constante, e pede:
(a) o campo vetorial ;
(b) o valor de para qualquer curva
de
até
.
O conteúdo aqui é gradiente e teorema fundamental do cálculo para campos conservativos.
(a) o campo vetorial
(b) o valor de
O conteúdo aqui é gradiente e teorema fundamental do cálculo para campos conservativos.
Passo 2
Para achar
, vamos derivar
em relação a
,
e
. Note que
Usando a regra da cadeia, por exemplo
e de modo análogo para
e
.
Passo 3
Portanto o gradiente é
ou de forma vetorial
Passo 4
Como
é o gradiente de
, é um campo conservativo. Logo pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha
Passo 5
Calculemos
Logo