(2,5 pontos) Considere a função f definida por f(x, y, z)=alpharaizx^2+y^2+z^2, sendo alpha constante.
(a) Determine o campo vetorial F dado por F=nabla f.
(b) Calcule integralC F cdot d r, sendo C uma curva que vai do ponto A=(1,2,2) ao ponto B=(4,0,3).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=alpharaizx^2+y^2+z^2,
onde alpha é constante, e pede:
(a) o campo vetorial F=nabla f;
(b) o valor de integralCFcdot d r para qualquer curva C de A=(1,2,2) até B=(4,0,3).
O conteúdo aqui é gradiente e teorema fundamental do cálculo para campos conservativos.

Passo 2

Para achar nabla f, vamos derivar f em relação a x, y e z. Note que
f(x,y,z)=alpha,(x^2+y^2+z^2)^-tfrac12
Usando a regra da cadeia, por exemplo
partial fpartial x =alphacdotl(-tfrac12r)(x^2+y^2+z^2)^-tfrac32cdot 2x =-alpha,x,(x^2+y^2+z^2)^-tfrac32
e de modo análogo para y e z.

Passo 3

Portanto o gradiente é
F=nabla f =l(,-alpha,x,(x^2+y^2+z^2)^-tfrac32,; -alpha,y,(x^2+y^2+z^2)^-tfrac32,; -alpha,z,(x^2+y^2+z^2)^-tfrac32r),
ou de forma vetorial
F=-alpha,(x,y,z)(x^2+y^2+z^2)^3/2

Passo 4

Como F é o gradiente de f, é um campo conservativo. Logo pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha
integralCFcdot d r =fl(Br)-fl(Ar)

Passo 5

Calculemos
f(A)=alpharaiz1^2+2^2+2^2 =alpharaiz9=alpha3, f(B)=alpharaiz4^2+0^2+3^2 =alpharaiz25=alpha5
Logo
integralCFcdot d r =f(B)-f(A) =alpha5-alpha3 =alpha3-515 =-2alpha15

Resposta

F=nabla f=-alpha,(x,y,z)(x^2+y^2+z^2)^3/2, integralCFcdot d r=-2alpha15

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