Use a definição de continuidade e propriedades de limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a.
31. f(x)=x+4x^2-9

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=x+4x^2-9
é contínua em um ponto genérico a. Lembrando que, por definição, f é contínua em a se
limxto af(x)=f(a)
Vamos usar as propriedades de limites (soma, produto e quociente) para calcular limxto af(x) e comparar com f(a).

Passo 2

Antes de tudo, verificamos o domínio de f. O denominador x^2-9 não pode ser zero, logo
x^2-9neq0Longrightarrow xneqpm3
Portanto, f(a) está bem definida somente se aneqpm3, e nesse caso
f(a)=a+4a^2-9

Passo 3

Agora aplicamos as propriedades de limites ao quociente. Como limxto a(x+4)=a+4 e limxto a(x^2-9)=a^2-9, e como a^2-9neq0, temos
limxto af(x) =limxto ax+4x^2-9 =limxto a(x+4)limxto a(x^2-9) =a+4a^2-9
Isso coincide exatamente com f(a).

Resposta

A função f(x)=x+4x^2-9 satisfaz
limxto af(x)=a+4a^2-9=f(a)
sempre que aneqpm3. Logo, f é contínua em todo a do seu domínio, isto é, em Rsetminus,-3,3.

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