( 2,5 pontos)
fluxo do campo vetorial
através da superfície
, no sentido do vetor unitário
normal à
, é
. Se a superfície
é parametrizada por
então
, desde que os vetores
e
tenham o mesmo sentido. Calcule o fluxo do campo
para fora da esfera
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
para fora da esfera
. O conteúdo principal é o cálculo de fluxo de um campo vetorial em superfície fechada, que podemos resolver de modo mais fácil usando o Teorema da Divergência (ou Gauss).
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de
na superfície fechada
que envolve o volume
vale
Passo 3
Calculamos a divergência de
:
Passo 4
Logo
Mas
é a bola centrada na origem de raio
. Como a função
é ímpar em relação ao plano
e o domínio é simétrico, temos