( 2,5 pontos) O fluxo do campo vetorial F através da superfície S, no sentido do vetor unitário n normal à S, é Phi=integral duplaS F cdot n d S. Se a superfície S é parametrizada por r(u, v) com(u, v) in D então Phi=integral duplaD F(r(u, v)) cdot(ru times rv) d A, desde que os vetores ru times rv e n tenham o mesmo sentido. Calcule o fluxo do campo F(x, y, z)=(y, 2 x, z^2) para fora da esfera x^2+y^2+z^2=4.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=(y,2x,z^2) para fora da esfera x^2+y^2+z^2=4. O conteúdo principal é o cálculo de fluxo de um campo vetorial em superfície fechada, que podemos resolver de modo mais fácil usando o Teorema da Divergência (ou Gauss).

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de F na superfície fechada S que envolve o volume V vale
Phi ;=;integral duplaSFcdot n,dS ;=;integral triplaVl(nablacdot Fr),dV

Passo 3

Calculamos a divergência de F:
nablacdot F =partialpartial x(y) +partialpartial y(2x) +partialpartial z(z^2) =0+0+2z =2z

Passo 4

Logo
Phi=integral triplaV2z,dV
Mas V é a bola centrada na origem de raio 2. Como a função z é ímpar em relação ao plano z=0 e o domínio é simétrico, temos
integral triplaVz,dV=0 Longrightarrow integral triplaV2z,dV=2cdot0=0

Resposta

Phi = 0

Exercícios relacionados