(2 pontos) O arrasto de um automóvel esportivo deve ser previsto a uma velocidade de 80 \mathrm{~km} / \mathrm{h} no ar a 20^{\circ} \mathrm{C}. Os engenheiros automotivos criaram um modelo em escala 1:10 para testá-lo em um túnel de vento localizado em um prédio com temperatura média de 10^{\circ} \mathrm{C}. Nesta condições qual deve ser a velocidade para atingir a fidelidade para o modelo?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Velocidade do veículo em escala real: \,V_{\text{real}}=80\\ \mathrm{km/h}.
Temperatura do ar no caso real: \,T_{\text{real}}=20^\circ\mathrm{C}.
Modelo em escala 1:10. Ou seja, se o comprimento característico do carro real é \,L_{\text{real}}, o do modelo é \,L_{\text{modelo}}=\dfrac{1}{10}L_{\text{real}}.
Temperatura no túnel de vento: \,T_{\text{tunel}}=10^\circ\mathrm{C}.
Pedido: encontrar a velocidade do vento no túnel (velocidade do modelo) necessária para que o arrasto previsto no modelo seja fiel ao arrasto real (ou seja, atingir a fidelidade para o modelo).
Passo 2
Escolha do critério de similaridade e justificativa (explicação didática e por que usamos isso).
Para que o arrasto obtido no modelo seja representativo do arrasto real, é necessário manter parâmetros adimensionais que governam a física do escoamento iguais entre modelo e protótipo. O mais importante para arrasto viscossensível é o número de Reynolds. Vou usar a condição de igualdade do número de Reynolds entre protótipo e modelo.
O número de Reynolds é a razão entre efeitos de inércia e viscosidade do fluido; quando \,Re é igual no modelo e no protótipo, os padrões de escoamento relacionados às camadas-limite e à separação tendem a ser semelhantes.
Aviso prático: matching só do \,Re é o critério clássico aqui. Porém, se a velocidade requerida para o modelo for grande o bastante para tornar efeitos compressíveis importantes (Mach elevado), então também seria necessário considerar o número de Mach. Vou calcular a velocidade pedida pelo critério de Reynolds e, ao final, checar rapidamente o Mach para ver se isso é um problema prático.
Passo 3
Escrever a igualdade do número de Reynolds e deduzir a expressão para a velocidade do modelo.
Definição do número de Reynolds (explicação): o número de Reynolds é
Re=\dfrac{\rho V L}{\mu},
onde
\rho é a massa específica do fluido (\mathrm{kg\,m^{-3}}),
V é a velocidade característica (\mathrm{m\,s^{-1}}),
L é um comprimento característico do corpo (\mathrm{m}),
\mu é a viscosidade dinâmica (\mathrm{Pa\,s} ou \mathrm{kg\,m^{-1}s^{-1}}).
Vou usar \,V_{\text{real}}=22,222\\ \mathrm{m/s} (valor suficiente para contas de prova).
Passo 5
Calcular massas específicas (\rho) a partir da temperatura (pressão atmosférica assumida igual nos dois casos) e calcular viscosidades dinâmicas (\mu) usando a lei de Sutherland (explicação didática).
Para gás ideal em pressão atmosférica \,p_0 constante:
\rho=\dfrac{p_0}{R_{\text{ar}}\,T},
onde \,R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}} e T é em Kelvin. Assumo \,p_0=101325\\ \mathrm{Pa}.
Comentário didático: Ma\approx0,6 já é um regime onde efeitos compressíveis começam a influenciar o arrasto (acima de Ma\sim0,3 compressibilidade já não é negligenciável). Portanto, embora matematicamente o valor acima satisfaça a igualdade de Reynolds, na prática um túnel que simplesmente gere essa velocidade pode não garantir fidelidade completa, porque seria necessário também controlar o efeito da compressibilidade (ou usar túnel pressurizado/temperatura diferente ou um modelo com outra técnica). Mas para a pergunta de prova (matching de Reynolds dado o enunciado), o valor calculado é o que se pede.