(2 pontos) O arrasto de um automóvel esportivo deve ser previsto a uma velocidade de 80 \mathrm{~km} / \mathrm{h} no ar a 20^{\circ} \mathrm{C}. Os engenheiros automotivos criaram um modelo em escala 1:10 para testá-lo em um túnel de vento localizado em um prédio com temperatura média de 10^{\circ} \mathrm{C}. Nesta condições qual deve ser a velocidade para atingir a fidelidade para o modelo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Velocidade do veículo em escala real: \,V_{\text{real}}=80\\ \mathrm{km/h}.
  • Temperatura do ar no caso real: \,T_{\text{real}}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Modelo em escala 1:10. Ou seja, se o comprimento característico do carro real é \,L_{\text{real}}, o do modelo é \,L_{\text{modelo}}=\dfrac{1}{10}L_{\text{real}}.
  • Temperatura no túnel de vento: \,T_{\text{tunel}}=10^\circ\mathrm{C}.
  • Pedido: encontrar a velocidade do vento no túnel (velocidade do modelo) necessária para que o arrasto previsto no modelo seja fiel ao arrasto real (ou seja, atingir a fidelidade para o modelo).

Passo 2

Escolha do critério de similaridade e justificativa (explicação didática e por que usamos isso).
  • Para que o arrasto obtido no modelo seja representativo do arrasto real, é necessário manter parâmetros adimensionais que governam a física do escoamento iguais entre modelo e protótipo. O mais importante para arrasto viscossensível é o número de Reynolds. Vou usar a condição de igualdade do número de Reynolds entre protótipo e modelo.
  • O número de Reynolds é a razão entre efeitos de inércia e viscosidade do fluido; quando \,Re é igual no modelo e no protótipo, os padrões de escoamento relacionados às camadas-limite e à separação tendem a ser semelhantes.
  • Aviso prático: matching só do \,Re é o critério clássico aqui. Porém, se a velocidade requerida para o modelo for grande o bastante para tornar efeitos compressíveis importantes (Mach elevado), então também seria necessário considerar o número de Mach. Vou calcular a velocidade pedida pelo critério de Reynolds e, ao final, checar rapidamente o Mach para ver se isso é um problema prático.

Passo 3

Escrever a igualdade do número de Reynolds e deduzir a expressão para a velocidade do modelo.
  • Definição do número de Reynolds (explicação): o número de Reynolds é
Re=\dfrac{\rho V L}{\mu},
onde
  • \rho é a massa específica do fluido ( \mathrm{kg\,m^{-3}}),
  • V é a velocidade característica ( \mathrm{m\,s^{-1}}),
  • L é um comprimento característico do corpo ( \mathrm{m}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{Pa\,s} ou \mathrm{kg\,m^{-1}s^{-1}}).
  • Igualando o Re do modelo e do protótipo:
\dfrac{\rho_{\text{modelo}}\,V_{\text{modelo}}\,L_{\text{modelo}}}{\mu_{\text{modelo}}} = \dfrac{\rho_{\text{real}}\,V_{\text{real}}\,L_{\text{real}}}{\mu_{\text{real}}}.
  • Isolando \,V_{\text{modelo}}:
V_{\text{modelo}} = V_{\text{real}}\; \underbrace{\dfrac{\rho_{\text{real}}}{\rho_{\text{modelo}}}}_{\text{densidade}} \underbrace{\dfrac{\mu_{\text{modelo}}}{\mu_{\text{real}}}}_{\text{viscosidade}} \underbrace{\dfrac{L_{\text{real}}}{L_{\text{modelo}}}}_{\text{escala}}.
  • Como a escala é 1:10, tem-se \,L_{\text{real}}/L_{\text{modelo}}=10. Então
V_{\text{modelo}} = 10\,V_{\text{real}}\, \frac{\rho_{\text{real}}}{\rho_{\text{modelo}}}\, \frac{\mu_{\text{modelo}}}{\mu_{\text{real}}}.

Passo 4

Converter unidades e calcular \,V_{\text{real}} em \mathrm{m/s}.
  • Conversão de velocidade:
V_{\text{real}}=\dfrac{80\\ \mathrm{km/h}}{3,6} = \, \frac{80}{3,6}\\ \mathrm{m/s} = 22,222\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Vou usar \,V_{\text{real}}=22,222\\ \mathrm{m/s} (valor suficiente para contas de prova).

Passo 5

Calcular massas específicas ( \rho) a partir da temperatura (pressão atmosférica assumida igual nos dois casos) e calcular viscosidades dinâmicas ( \mu) usando a lei de Sutherland (explicação didática).
  • Para gás ideal em pressão atmosférica \,p_0 constante:
\rho=\dfrac{p_0}{R_{\text{ar}}\,T},
onde \,R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}} e T é em Kelvin. Assumo \,p_0=101325\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter temperaturas para Kelvin:
T_{\text{real}}=20^\circ\mathrm{C}=293,15\\ \mathrm{K},\qquad T_{\text{tunel}}=10^\circ\mathrm{C}=283,15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular as densidades:
\rho_{\text{real}}=\dfrac{101325}{287\cdot293,15}=1,204\\ \mathrm{kg\,m^{-3}},
\rho_{\text{modelo}}=\dfrac{101325}{287\cdot283,15}=1,249\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
(Valores arredondados a três casas significativas, suficientes para prova.)
  • Viscosidade dinâmica: para ar a diferentes temperaturas uso a fórmula de Sutherland (porque \mu depende com T):
\mu(T)=\mu_{\text{ref}}\left(\dfrac{T}{T_{\text{ref}}}\right)^{3/2}\dfrac{T_{\text{ref}}+S}{T+S},
com constantes típicas para o ar: \mu_{\text{ref}}=1,716\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\,s} em T_{\text{ref}}=273\\ \mathrm{K} e S=110,4\\ \mathrm{K}.
  • Calcular \mu_{\text{real}}=\mu(293,15\\ \mathrm{K}):
\mu_{\text{real}}=1,716\times10^{-5} \left(\dfrac{293,15}{273}\right)^{3/2}\dfrac{273+110,4}{293,15+110,4} \approx 1,811\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\,s}.
  • Calcular \mu_{\text{modelo}}=\mu(283,15\\ \mathrm{K}):
\mu_{\text{modelo}}=1,716\times10^{-5} \left(\dfrac{283,15}{273}\right)^{3/2}\dfrac{273+110,4}{283,15+110,4} \approx 1,765\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\,s}.

Passo 6

Substituir todos os números na expressão de \,V_{\text{modelo}} e calcular.
  • Relembrando a fórmula deduzida:
V_{\text{modelo}} = 10\,V_{\text{real}}\, \frac{\rho_{\text{real}}}{\rho_{\text{modelo}}}\, \frac{\mu_{\text{modelo}}}{\mu_{\text{real}}}.
  • Substituindo valores (usar os números calculados nos passos anteriores):
V_{\text{modelo}} = 10\cdot 22,222\; \cdot \dfrac{1,204}{1,249}\; \cdot \dfrac{1,765\times10^{-5}}{1,811\times10^{-5}}.
  • Calcule passo a passo:
\dfrac{1,204}{1,249}=0,9637\quad(\text{aprox.}),
\dfrac{1,765\times10^{-5}}{1,811\times10^{-5}}=0,9748\quad(\text{aprox.}),
10\cdot 22,222 =222,22.
Agora,
V_{\text{modelo}}=222,22\cdot 0,9637\cdot 0,9748 \approx 208,8\\ \mathrm{m/s}.
  • Converter para \mathrm{km/h}:
V_{\text{modelo}}=208,8\\ \mathrm{m/s}\times3,6 \approx 751,6\\ \mathrm{km/h}.

Passo 7

Interpretação prática e checagem rápida do número de Mach (aviso didático e motivação).
  • Velocidade do som típica ao redor destas temperaturas é cerca de \,c\approx343\\ \mathrm{m/s} (varia com T, mas esse valor é uma referência).
  • O Mach correspondente é
Ma=\dfrac{V_{\text{modelo}}}{c}\approx \dfrac{208,8}{343}\approx 0,61.
  • Comentário didático: Ma\approx0,6 já é um regime onde efeitos compressíveis começam a influenciar o arrasto (acima de Ma\sim0,3 compressibilidade já não é negligenciável). Portanto, embora matematicamente o valor acima satisfaça a igualdade de Reynolds, na prática um túnel que simplesmente gere essa velocidade pode não garantir fidelidade completa, porque seria necessário também controlar o efeito da compressibilidade (ou usar túnel pressurizado/temperatura diferente ou um modelo com outra técnica). Mas para a pergunta de prova (matching de Reynolds dado o enunciado), o valor calculado é o que se pede.

Resposta

V_{\text{modelo}}\approx208{,}8\\ \mathrm{m/s}\approx751{,}6\\ \mathrm{km/h}

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