( 2 pontos) Uma bomba fornece 0,8 \mathrm{hp} para água a 25^{\circ} \mathrm{C} escoar por um tubo horizontal de ferro galvanizado de 80 mm de diâmetro à velocidade de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é o comprimento apropriado de tubo para satisfazer a essas condições?

Passo 1

O enunciado pede: determinar o comprimento apropriado do tubo para que uma bomba fornecendo 0{,}8\\ \mathrm{hp} faça a água a 25^\circ\mathrm{C} escoar por um tubo horizontal de ferro galvanizado de diâmetro 80\\ \mathrm{mm} à velocidade 3\\ \mathrm{m/s}.\n\nDados fornecidos (peguei todos do enunciado):\n- Potência fornecida pela bomba: P=0{,}8\\ \mathrm{hp}.\n- Temperatura da água: 25^\circ\mathrm{C}.\n- Tubo horizontal, diâmetro interno: D=80\\ \mathrm{mm}=0{,}08\\ \mathrm{m}.\n- Velocidade média do escoamento: V=3\\ \mathrm{m/s}.\n\nO que é pedido: comprimento L do tubo que corresponde a essas condições (assumir que toda a potência fornecida é usada para vencer a perda de carga por atrito no trecho do tubo, sem outras perdas).

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica Q a partir da área da seção e da velocidade.\n\nA área da seção circular vale\n A=\frac{\pi D^{2}}{4}.\nNumericamente:\n A=\frac{\pi(0{,}08)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}0016=0{,}005027\\ \mathrm{m^{2}}\\ (\text{aprox. }0{,}00503).\nA vazão é\n Q=A V=0{,}005027\cdot 3=0{,}01508\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 3

Converter a potência para SI e relacionar potência com perda de carga total (head).\n\nUsa-se 1\\ \mathrm{hp}=746\\ \mathrm{W}, logo\n P=0{,}8\cdot 746=596{,}8\\ \mathrm{W}.\nA potência útil entregue ao fluido para vencer perda de carga é\n P=\Delta p\;Q=\rho g h_{f}\;Q,\nonde h_{f} é a perda de carga em altura (em metros), \rho é a densidade da água e g a gravidade.\n\nPara água a 25^\circ\mathrm{C} tomo (tabela): \rho=997\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Uso g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.\n\nAssim\n h_{f}=\frac{P}{\rho g Q}.\nCalculemos passo a passo:\n \rho g=997\cdot 9{,}81=9779{,}57\\ (\mathrm{kg/(m^{2}\,s^{2})}).\n \rho g Q=9779{,}57\cdot 0{,}01508=147{,}55\\ (\mathrm{W/m}).\n h_{f}=\frac{596{,}8}{147{,}55}=4{,}045\\ \mathrm{m}.\nPortanto a perda de carga total permitida pelo trecho é h_{f}\approx 4{,}05\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Relacionar perda de carga com comprimento via fórmula de Darcy–Weisbach e isolar L.\n\nA fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito em tubulação lisa/áspera é\n h_{f}=f\frac{L}{D}\frac{V^{2}}{2g},\nonde\n- f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),\n- L é o comprimento do tubo (o que queremos),\n- D é o diâmetro,\n- V é a velocidade média,\n- g é a aceleração da gravidade.\n\nIsolando L:\n L=\frac{h_{f}\,D}{f\displaystyle\frac{V^{2}}{2g}}.\nPara calcular L precisamos de f. Para obter f é necessário saber o regime (Reynolds) e a rugosidade relativa.

Passo 5

Calcular o número de Reynolds para verificar regime e usar viscosidade cinemática apropriada.\n\nA definição é\n \mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu},\nonde \nu é a viscosidade cinemática. Para água a 25^\circ\mathrm{C} (tabela) uso \nu=0{,}893\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.\n\nCalcule:\n V D=3\cdot 0{,}08=0{,}24.\n \mathrm{Re}=\frac{0{,}24}{0{,}893\times 10^{-6}}=2{,}69\times 10^{5}\\ (\text{aprox. }268700).\nEsse valor indica escoamento turbulento (Re bem maior que 4000).

Passo 6

Escolher rugosidade absoluta para ferro galvanizado e calcular rugosidade relativa.\n\nDe tabelas de rugosidade típica, para ferro galvanizado costuma-se usar \epsilon\approx 0{,}15\\ \mathrm{mm}=0{,}00015\\ \mathrm{m} (valor tomado de tabela padrão de materiais). Então a rugosidade relativa é\n \frac{\epsilon}{D}=\frac{0{,}00015}{0{,}08}=0{,}001875.

Passo 7

Calcular o fator de atrito f usando a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa para escoamento turbulento):\n f=0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\epsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.\nAgora os termos numéricos:\n \frac{\epsilon/D}{3{,}7}=\frac{0{,}001875}{3{,}7}=0{,}0005068.\nCalcular \mathrm{Re}^{0{,}9}: \mathrm{Re}^{0{,}9}\approx(2{,}69\times 10^{5})^{0{,}9}\approx 7{,}77\times 10^{4}.\n \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=\frac{5{,}74}{7{,}77\times 10^{4}}=7{,}38\times 10^{-5}.\nSomando:\n \frac{\epsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=0{,}0005068+0{,}0000738=0{,}0005806.\nTomando o logaritmo e aplicando a fórmula:\n \log_{10}(0{,}0005806)=-3{,}236,\n \left[\log_{10}(\cdots)\right]^{-2}=\frac{1}{(-3{,}236)^{2}}=\frac{1}{10{,}472}=0{,}09549.\n f=0{,}25\cdot 0{,}09549=0{,}02387\\ (\text{aprox. }0{,}0239).

Passo 8

Calcular o comprimento L usando os valores encontrados.\n\nPrimeiro calcule \dfrac{V^{2}}{2g}:\n \frac{V^{2}}{2g}=\frac{3^{2}}{2\cdot 9{,}81}=\frac{9}{19{,}62}=0{,}4589\\ \mathrm{m}.\nCalcule o denominador da expressão de L:\n f\frac{V^{2}}{2g}=0{,}02387\cdot 0{,}4589=0{,}01095.\nCalcule o numerador h_{f}D:\n h_{f}D=4{,}045\cdot 0{,}08=0{,}3236.\nFinalmente\n L=\frac{0{,}3236}{0{,}01095}=29{,}56\\ \mathrm{m}.\nArredondando com significado prático: L\approx 29{,}6\\ \mathrm{m} (ou cerca de 30\\ \mathrm{m}).

Passo 9

Observações finais e hipóteses feitas (importante para prova):\n- Pressupus que toda a potência da bomba é usada para vencer a perda de carga por atrito no trecho (nenhuma perda por acessórios, curvas, válvulas, nem eficiência da bomba). Se houver perdas menores ou eficiência da bomba < 100\% o comprimento obtido seria menor para a mesma potência útil.\n- Usei \nu e \rho para água a 25^\circ\mathrm{C} e \epsilon=0{,}15\\ \mathrm{mm} para ferro galvanizado, valores padrão de tabela. Se a rugosidade adotada for outra, o f muda e altera L.\n- Método: calculei Q a partir de V e D, obtive h_{f} a partir de P=\rho g Q h_{f} e então usei Darcy–Weisbach com f pela fórmula de Swamee–Jain para tubulação turbulenta.

Resposta

L\approx 29{,}6\\ \mathrm{m}

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