(Tipler Ex 87 e 88) Quanto trabalho deve ser realizado sobre 30,0 \mathrm{~g} de (argônio) dióxido de carbono ( \mathrm{CO}_{2} ), nas condições normais de temperatura e pressão, para comprimi-lo a um quinto de seu volume inicial, se o processo for isotérmico? (diferença está: (a) quantidade de átomos (b) expoente das capacidades calorificas)

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (tudo que peguei do enunciado):
  • Temos massa do gás: m=30{,}0\\ \text{g}.
  • O gás será comprimido isotermicamente (temperatura constante) até um quinto do volume inicial, ou seja V_f=\frac{1}{5}V_i.
  • As condições são as condições normais de temperatura e pressão (CNTP): tomo T=273{,}15\\ \text{K} e pressão ambiente P\approx1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa} (só o T entra diretamente na fórmula que usaremos).
  • Constante universal dos gases: R=8{,}314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}.
  • O enunciado apresenta duas versões (vou resolver as duas, pois o teu comentário sugere comparar):
    (a) argônio (gás monoatômico) — massa molar M_{\mathrm{Ar}}=39{,}948\\ \text{g}\,\text{mol}^{-1}.
    (b) dióxido de carbono \mathrm{CO}_2 (molécula linear triatômica) — massa molar M_{\mathrm{CO_2}}=44{,}01\\ \text{g}\,\text{mol}^{-1}.
  • O enunciado pergunta: “Quanto trabalho deve ser realizado sobre o gás para comprimi-lo…?” — isto é, pede o trabalho realizado sobre o gás (trabalho recebido pelo gás), que vou chamar de W_{\text{on}}.

Passo 2

Fórmula do trabalho em compressão isotérmica reversível e explicação passo a passo (aula rápida e sem pular etapas).
  • Definição/convenção: o trabalho realizado pelo gás em um processo reversível é
    W_{\text{by}}=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.
    O trabalho realizado sobre o gás é o oposto:
    W_{\text{on}}=-W_{\text{by}}=-\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.
    (Explicação simples: se o gás realiza trabalho empurrando o ambiente, o gás perde energia; trabalho sobre o gás tem sinal oposto.)
  • Para um gás ideal em processo isotérmico (temperatura constante), a pressão do gás é dada pela equação dos gases ideais:
    P=\frac{nRT}{V},
    onde n é o número de mols do gás, R a constante dos gases e T a temperatura absoluta (em K). Aqui n será obtido a partir da massa e da massa molar: n=\dfrac{m}{M}.
  • Substituindo P na integral:
    W_{\text{on}}=-\int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV.
    Como n,R,T são constantes no processo isotérmico, saem da integral:
    W_{\text{on}}=-nRT\int_{V_i}^{V_f} \frac{dV}{V}=-nRT\bigl[\ln V\bigr]_{V_i}^{V_f}.
    Portanto
    W_{\text{on}}=-nRT\bigl(\ln V_f-\ln V_i\bigr)=-nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
    Usando V_f=\dfrac{V_i}{5} obtém-se
    \frac{V_f}{V_i}=\frac{1}{5}\quad\Rightarrow\quad W_{\text{on}}=-nRT\ln\!\left(\frac{1}{5}\right)=nRT\ln 5.
    Conclusão útil: para compressão isotérmica reversível até um quinto do volume inicial,
    \boxed{W_{\text{on}}=nRT\ln 5.}
    Observação didática: o resultado não contém as capacidades caloríficas ( C_V,C_P) nem o expoente adiabático \gamma; isso é esperado porque o processo é isotérmico (temperatura constante) — para um gás ideal \Delta U=0 numa isotermal, e o trabalho é fixado por nRT\ln(V_i/V_f).

Passo 3

Calcular n (número de mols) para cada caso usando n=\dfrac{m}{M}.
(a) Argônio:
n_{\mathrm{Ar}}=\frac{m}{M_{\mathrm{Ar}}}=\frac{30{,}0\\ \text{g}}{39{,}948\\ \text{g}\,\text{mol}^{-1}}=0{,}750975\\ \text{mol}\\ (\text{aprox. }0{,}751\\ \text{mol}).
(b) Dióxido de carbono:
n_{\mathrm{CO_2}}=\frac{m}{M_{\mathrm{CO_2}}}=\frac{30{,}0\\ \text{g}}{44{,}01\\ \text{g}\,\text{mol}^{-1}}=0{,}681889\\ \text{mol}\\ (\text{aprox. }0{,}682\\ \text{mol}).
(Explanação: dividi a massa dada pela massa de uma mole de cada substância para achar quantas mols existem; valores arredondados ao final conforme número de algarismos significativos.)

Passo 4

Calcular W_{\text{on}}=nRT\ln 5 numericamente para argônio (a) — mostro passos de multiplicação para poder fazer sem calculadora sofisticada.
  • Primeiro calcule RT: RT=R\cdot T=8{,}314\\ \frac{\text{J}}{\text{mol}\,\text{K}}\times273{,}15\\ \text{K}=2271{,}095\\ \frac{\text{J}}{\text{mol}}\\ (\text{aprox.}).
  • Multiplicar por n_{\mathrm{Ar}}: n_{\mathrm{Ar}}RT=0{,}750975\times2271{,}095\\ \text{J}=1705{,}536\\ \text{J}\\ (\text{aprox.}).
  • Agora multiplicar por \ln 5 (valor tabulado \ln 5\approx1{,}6094379): W_{\text{on, Ar}}=1705{,}536\times1{,}6094379\\ \text{J}\approx2744{,}96\\ \text{J}.
  • Arredondando a três algarismos significativos (a massa 30{,}0 tem 3 sig figs): W_{\text{on, Ar}}\approx2{,}74\times10^{3}\\ \text{J}=2{,}74\\ \text{kJ}.

Passo 5

Calcular W_{\text{on}}=nRT\ln 5 para \mathrm{CO_2} (b), com passos semelhantes.
  • Já temos RT\approx2271{,}095\\ \text{J/mol}.
  • Multiplicar por n_{\mathrm{CO_2}}=0{,}681889\\ \text{mol}: n_{\mathrm{CO_2}}RT=0{,}681889\times2271{,}095\\ \text{J}\approx1548{,}122\\ \text{J}.
  • Multiplicar por \ln 5: W_{\text{on, CO}_2}=1548{,}122\times1{,}6094379\\ \text{J}\approx2491{,}61\\ \text{J}.
  • Arredondando a três algarismos significativos: W_{\text{on, CO}_2}\approx2{,}49\times10^{3}\\ \text{J}=2{,}49\\ \text{kJ}.

Passo 6

Interpretação final e comentário pedagógico (curto, motivador):
  • Resultado prático: com a mesma massa 30{,}0\\ \text{g}, o argônio requer mais trabalho para ser comprimido isotermicamente até 1/5 do volume do que o \mathrm{CO_2}. Por quê? Porque o número de mols n difere: o argônio tem massa molar menor, logo mais mols para a mesma massa, e W_{\text{on}}\propto n.
  • Observação importante: ainda que argônio e \mathrm{CO_2} tenham diferentes números de átomos por molécula e diferentes capacidades caloríficas ( \gamma, etc.), essas propriedades NÃO entram na fórmula do trabalho isotérmico reversível W_{\text{on}}=nRT\ln(V_i/V_f). Em uma isotérmica de gás ideal a variação de energia interna \Delta U=0, então o trabalho é determinado apenas por nRT e pela razão de volumes.
  • Força motivacional: estás indo bem — o passo chave é lembrar qual trabalho estão pedindo (sobre o gás) e usar a integral com P=nRT/V. Dá pra fazer rápido na prova com essa fórmula pronta.

Resposta

(a) Argônio: W_{\text{on}} \approx 2{,}74\times10^{3}\\ \text{J}.
(b) Dióxido de carbono: W_{\text{on}} \approx 2{,}49\times10^{3}\\ \text{J}.

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