Seja G=[a] um grupo cíclico de ordem h . Mostre que: a^t in G é um gerador de G Long<=ftrightarrow mdc(h, t)=1.

Solução

(Longrightarrow)
Se at é um gerador de G, como a epsilon G, temos:
exists r in N mid(a^t)^r=a therefore a^tr=a therefore tr equiv 1(bmod h) therefore tr=1+kh therefore 1=tr-kh Seja d=m d c(h, t). Então :
ld|t Longrightarrow d| tr d|h Longrightarrow d| kh Longrightarrow d|tr-kh Longrightarrow d| 1 Longrightarrow d=1

Passo 1

O enunciado diz que G=[a] é um grupo cíclico de ordem h. Queremos mostrar que um elemento a^tin G é gerador de G se, e somente se, gcd(h,t)=1. Para isso vamos usar duas ideias principais da teoria de grupos cíclicos:
  1. A ordem de a é h.
  2. A ordem de a^t é hgcd(h,t).

Passo 2

Prova de “ Longrightarrow”. Suponha que a^t gera G. Então existe rinN tal que
l(a^tr)^r = a
Isso implica
a^tr = a^1 Longrightarrow tr equiv 1 pmodh Longrightarrow tr - kh = 1
para algum inteiro k. Seja d=gcd(h,t). Como dmid t e dmid h, temos dmid tr e dmid kh, logo dmid (tr - kh). Mas tr-kh=1, então dmid 1, forçando d=1. Portanto gcd(h,t)=1.

Passo 3

Prova de “ Long<=ftarrow”. Agora suponha gcd(h,t)=1. Pelo Teorema de Bézout existem inteiros r,k tais que
tr + kh = 1
Elevando a a ambos os lados:
a^tr + kh = a^1 Longrightarrow a^tr,(a^h)^k = a Longrightarrow l(a^tr)^r = a,
pois a^h = e. Isso mostra que a pertence ao subgrupo gerado por a^t. Além disso, a ordem de lang<= a^trang<= vale
hgcd(h,t) = h1 = h,
ou seja, lang<= a^trang<= tem h elementos e portanto coincide com todo G. Logo a^t é gerador de G.

Resposta

a^t é gerador de G se, e somente se, gcd(h,t)=1.

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