Seja
um grupo cíclico de ordem h . Mostre que:
é um gerador de
.
Solução
Se at é um gerador de G, como a
, temos:
Seja
. Então :
Se at é um gerador de G, como a
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo cíclico de ordem
. Queremos mostrar que um elemento
é gerador de
se, e somente se,
. Para isso vamos usar duas ideias principais da teoria de grupos cíclicos:
- A ordem de
é . - A ordem de
é .
Passo 2
Prova de “
”. Suponha que
gera
. Então existe
tal que
Isso implica
para algum inteiro
. Seja
. Como
e
, temos
e
, logo
. Mas
, então
, forçando
. Portanto
.
Passo 3
Prova de “
”. Agora suponha
. Pelo Teorema de Bézout existem inteiros
tais que
Elevando
a ambos os lados:
pois
. Isso mostra que
pertence ao subgrupo gerado por
. Além disso, a ordem de
vale
ou seja,
tem
elementos e portanto coincide com todo
. Logo
é gerador de
.