Os pontos A, B e C são colineares, AB = 5, BC = 2 e B está entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma circunferência com centro em A. Traça-se uma reta r perpendicular ao segmento BD passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P a interseção de r com AD. Então, AP + BP vale
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de geometria! A questão fala sobre pontos colineares, segmentos de reta, circunferência e perpendiculares. Precisamos entender como esses elementos se relacionam para encontrar o valor de $ AP + BP $.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar os pontos A, B e C alinhados na reta. Sabemos que $ AB = 5 $ e $ BC = 2 $, com B entre A e C. Isso significa que a distância total de A a C é $ AC = AB + BC = 5 + 2 = 7 $.

Passo 3

Agora, os pontos C e D estão na circunferência com centro em A. Isso implica que as distâncias $ AC $ e $ AD $ são iguais, pois são raios da circunferência. Já sabemos que $ AC = 7 $, então $ AD = 7 $ também.

Passo 4

Em seguida, vamos considerar o segmento BD. Queremos traçar uma reta $ r $ que seja perpendicular a BD e passe pelo ponto médio de BD. Para isso, precisamos encontrar o ponto médio de BD.

Passo 5

Vamos chamar o ponto médio de BD de M. Já que B está entre A e C, e conhecemos as distâncias, podemos calcular as coordenadas ou simplesmente entender que M divide BD em duas partes iguais.

Passo 6

A reta $ r $ perpendicular a BD passa por M e intersecta AD no ponto P. Nosso objetivo é encontrar as distâncias $ AP $ e $ BP $ e, depois, somá-las.

Passo 7

Sabemos que $ AD = 7 $. Como $ r $ é perpendicular a BD e passa pelo ponto médio M, podemos usar propriedades de triângulos e círculos para determinar que $ AP = BP $.

Passo 8

Se $ AP = BP $ e queremos $ AP + BP $, então basta somar duas vezes $ AP $. Como $ AD = 7 $ e $ P $ está em AD, temos que $ AP = \frac{AD}{2} = \frac{7}{2} = 3,5 $.

Passo 9

Portanto, $ AP + BP = 3,5 + 3,5 = 7 $.

Resposta

A resposta correta é a alternativa d) 7.

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