Verifique se a sequência an= 5.4^n-2 com nEN* é uma progressão geométrica?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência definida pela fórmula $ a_n = 5 \cdot 4^n - 2 $ para $ n $ pertencente aos números naturais $ (\mathbb{N}^*) $. O objetivo é verificar se essa sequência é uma progressão geométrica. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma progressão geométrica e como identificar se uma sequência segue essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma progressão geométrica (PG). Em uma PG, cada termo depois do primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada de razão $ r $. Matemáticamente, isso é representado por:
onde $ r $ é a razão da PG.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência $ a_n = 5 \cdot 4^n - 2 $ segue essa regra. Para isso, vamos calcular alguns termos da sequência e ver se a razão entre termos consecutivos é constante.
Passo 4
Vamos calcular os três primeiros termos da sequência:
Para $ n = 1 $:
Para $ n = 2 $:
Para $ n = 3 $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a razão entre os termos consecutivos:
Entre $ a_2 $ e $ a_1 $:
Entre $ a_3 $ e $ a_2 $:
Passo 6
Observamos que as razões não são iguais: $ 4.333 $ e $ 4.076 $. Para que a sequência seja uma progressão geométrica, a razão deveria ser a mesma entre todos os termos consecutivos.
Resposta
Não, a sequência $ a_n = 5 \cdot 4^n - 2 $ não é uma progressão geométrica, pois a razão entre termos consecutivos não é constante.