Verifique se a sequência an= 5.4^n-2 com nEN* é uma progressão geométrica?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência definida pela fórmula $ a_n = 5 \cdot 4^n - 2 $ para $ n $ pertencente aos números naturais $ (\mathbb{N}^*) $. O objetivo é verificar se essa sequência é uma progressão geométrica. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma progressão geométrica e como identificar se uma sequência segue essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma progressão geométrica (PG). Em uma PG, cada termo depois do primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada de razão $ r $. Matemáticamente, isso é representado por:
r
onde $ r $ é a razão da PG.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência $ a_n = 5 \cdot 4^n - 2 $ segue essa regra. Para isso, vamos calcular alguns termos da sequência e ver se a razão entre termos consecutivos é constante.

Passo 4

Vamos calcular os três primeiros termos da sequência:
Para $ n = 1 $:
n = 1
Para $ n = 2 $:
a1 = 5 cdot 4^1 - 2 = 5 cdot 4 - 2 = 20 - 2 = 18
Para $ n = 3 $:
n = 2

Passo 5

Agora, vamos calcular a razão entre os termos consecutivos:
Entre $ a_2 $ e $ a_1 $:
a2
Entre $ a_3 $ e $ a_2 $:
a1

Passo 6

Observamos que as razões não são iguais: $ 4.333 $ e $ 4.076 $. Para que a sequência seja uma progressão geométrica, a razão deveria ser a mesma entre todos os termos consecutivos.

Resposta

Não, a sequência $ a_n = 5 \cdot 4^n - 2 $ não é uma progressão geométrica, pois a razão entre termos consecutivos não é constante.

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