Para obter interseção entre retas e planos, devemos utilizar a igualdade das suas equações. Assim, qual é o ponto de interseção entre a reta r e o plano π a seguir? r: x = 3t, y = 1 - 2t , z = -t π: 2x 3y - 2z - 7 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ponto onde uma reta $ r $ intercepta um plano $ \pi $. A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente tratando de interseções entre retas e planos. Para isso, vamos precisar igualar as equações da reta e do plano e resolver para encontrar as coordenadas desse ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações da reta $ r $ em termos paramétricos. A reta é dada por:
r
Aqui, $ t $ é um parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 3

Agora, vamos considerar a equação do plano $ \pi $:
pi
Para encontrar o ponto de interseção, substituímos as expressões de $ x $, $ y $ e $ z $ da reta na equação do plano.

Passo 4

Substituindo:
2(3t) + 3(1 - 2t) - 2(-t) - 7 = 0
Simplificando cada termo:
6t + 3 - 6t + 2t - 7 = 0
Juntando os termos semelhantes:
(6t - 6t + 2t) + (3 - 7) = 0 2t - 4 = 0

Passo 5

Resolvendo para $ t $:
t

Passo 6

Com o valor de $ t $ encontrado, substituímos de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
t

Resposta

O ponto de interseção entre a reta $ r $ e o plano $ \pi $ é $ (6,\ -3,\ -2) $.

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