Para obter interseção entre retas e planos, devemos utilizar a igualdade das suas equações. Assim, qual é o ponto de interseção entre a reta r e o plano π a seguir? r: x = 3t, y = 1 - 2t , z = -t π: 2x 3y - 2z - 7 = 0.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ponto onde uma reta $ r $ intercepta um plano $ \pi $. A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente tratando de interseções entre retas e planos. Para isso, vamos precisar igualar as equações da reta e do plano e resolver para encontrar as coordenadas desse ponto de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações da reta $ r $ em termos paramétricos. A reta é dada por:
Aqui, $ t $ é um parâmetro que varia ao longo da reta.
Passo 3
Agora, vamos considerar a equação do plano $ \pi $:
Para encontrar o ponto de interseção, substituímos as expressões de $ x $, $ y $ e $ z $ da reta na equação do plano.
Passo 4
Substituindo:
Simplificando cada termo:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Resolvendo para $ t $:
Passo 6
Com o valor de $ t $ encontrado, substituímos de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
Resposta
O ponto de interseção entre a reta $ r $ e o plano $ \pi $ é $ (6,\ -3,\ -2) $.