Em uma sala com 30 pessoas, qual é a probabilidade de pelo menos duas pessoas serem a mesma data de aniversário?

Passo 1

Estamos lidando com uma sala que tem 30 pessoas e queremos descobrir qual a chance de pelo menos duas delas fazerem aniversário no mesmo dia. Isso entra na área de probabilidade, especificamente no clássico “problema do aniversário”. Para resolver, vamos calcular a probabilidade oposta—ou seja, a de todas as 30 pessoas terem aniversários em dias diferentes—and depois subtrair esse valor de 1 para encontrar a probabilidade que queremos.

Passo 2

Vamos começar assumindo que há 365 dias no ano (ignorando anos bissextos) e que cada dia é igualmente provável para um aniversário. A primeira pessoa pode ter aniversário em qualquer um desses 365 dias, então a probabilidade dela ter aniversário em um dia específico é 365365 = 1.

Passo 3

A segunda pessoa precisa ter aniversário em um dia diferente da primeira. Como um dia já está ocupado, restam 364 dias disponíveis. Então, a probabilidade de a segunda pessoa não ter o mesmo aniversário que a primeira é 364365.

Passo 4

Continuando essa lógica, a terceira pessoa deve ter aniversário em um dia que não foi escolhido pelas duas primeiras. Restam então 363 dias para ela, então a probabilidade é 363365.

Passo 5

Vamos continuar esse processo até a 30ª pessoa. A probabilidade de todas as 30 pessoas terem aniversários em dias diferentes é o produto das probabilidades de cada etapa:
365365 times 364365 times 363365 times cdots times 336365

Passo 6

Calculando esse produto, obtemos aproximadamente 0,293 (ou 29,3%). Isso significa que há 29,3% de chance de todas as 30 pessoas terem aniversários em dias diferentes.

Passo 7

Para encontrar a probabilidade de pelo menos duas pessoas compartilharem o mesmo aniversário, subtraímos esse valor de 1:
1 - 0,293 = 0,707

Resposta

A probabilidade de pelo menos duas pessoas na sala de 30 terem o mesmo aniversário é de aproximadamente 70,7%.

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