Os pontos a(2, 3), b(-1, 4), e c(x, y) são vértices de um triângulo cujo baricentro e o ponto g(0, 3). qual é a soma de x+y?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três pontos que formam um triângulo: A(2, 3), B(-1, 4) e C(x, y). Sabemos que o baricentro desse triângulo é o ponto G(0, 3). Nosso objetivo aqui é descobrir a soma das coordenadas x e y do ponto C, ou seja, encontrar x + y.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o baricentro. O baricentro, também conhecido como centroide, de um triângulo é o ponto onde as três medianas se encontram. As medianas são segmentos de reta que ligam cada vértice ao ponto médio do lado oposto. A fórmula para calcular as coordenadas do baricentro é a média das coordenadas dos vértices.
Passo 2
Vamos começar aplicando a fórmula do baricentro. Se temos três vértices A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) e C(x₃, y₃), as coordenadas do baricentro G são dadas por:
No nosso caso, sabemos que G é (0, 3), então podemos montar duas equações, uma para as coordenadas x e outra para as y.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula para a coordenada x primeiro:
Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
Isolando x:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para a coordenada y:
Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Isolando y:
Resposta
A soma das coordenadas x e y do ponto C é: