Obtenha uma equação geral e também um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A(1,0,2), B(-1,2,-1) e C(1,1,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano definido pelos pontos $ A(1,0,2) $, $ B(-1,2,-1) $ e $ C(1,1,-1) $. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como determinar planos no espaço a partir de três pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos obter esses vetores subtraindo as coordenadas dos pontos dados.
Vamos definir:
AB = B - A = (-1 - 1, 2 - 0, -1 - 2) = (-2, 2, -3)
AC = C - A = (1 - 1, 1 - 0, -1 - 2) = (0, 1, -3)

Passo 3

Agora, para encontrar a equação geral do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Esse vetor normal pode ser encontrado calculando o produto vetorial entre AB e AC.
n = AB times AC = i & j & k -2 & 2 & -3 0 & 1 & -3
Calculando o determinante:
n = i(2 cdot (-3) - (-3) cdot 1) - j(-2 cdot (-3) - (-3) cdot 0) + k(-2 cdot 1 - 2 cdot 0)
n = i(-6 + 3) - j(6 - 0) + k(-2 - 0)
n = i(-3) - j(6) + k(-2) = (-3, -6, -2)
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -1: n = (3, 6, 2).

Passo 4

Com o vetor normal n = (3, 6, 2) e o ponto $ A(1,0,2) $ no plano, podemos usar a equação geral do plano:
A(1,0,2)
Expandindo a equação:
3(x - 1) + 6(y - 0) + 2(z - 2) = 0
3x - 3 + 6y + 2z - 4 = 0
Então, a equação geral do plano é:
3x + 6y + 2z - 7 = 0

Passo 5

Agora, vamos encontrar um sistema de equações paramétricas para o mesmo plano. Para isso, precisamos de um ponto no plano e de dois vetores diretores que definem o plano.
Já temos o ponto $ A(1,0,2) $ e os vetores A(1,0,2) e AB = (-2, 2, -3).
As equações paramétricas são dadas por:
AC = (0,1,-3)
x = x0 + u cdot a + v cdot b
y = y0 + u cdot c + v cdot d
onde z = z0 + u cdot e + v cdot f e (a, c, e) são os vetores diretores, e (b, d, f) é o ponto inicial.
Substituindo:
(x0, y0, z0)
x = 1 - 2u + 0v = 1 - 2u
y = 0 + 2u + 1v = 2u + v

Resposta

A equação geral do plano é:
3x + 6y + 2z - 7 = 0
E o sistema de equações paramétricas é:
x = 1 - 2u y = 2u + v z = 2 - 3u - 3v
onde $ u $ e $ v $ são parâmetros reais.

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