Calcule
, em que
é o quadrilátero
de diagonais
e
, que formam entre si um ângulo de
, sendo
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
onde
é o quadrilátero
cuja região interior tem diagonais
e
que se cruzam com ângulo de
, com comprimentos
e
.
Informações dadas, listadas:
Informações dadas, listadas:
- A curva
é o contorno fechado do quadrilátero . - As diagonais do quadrilátero têm comprimentos
e . - O ângulo entre as diagonais é
. - A integranda é
com e .
A pergunta é: qual o valor numérico da integral fechada?
Passo 2
Escolha do método: como a integral é de linha fechada sobre uma curva simples que circunda uma região plana, o teorema de Green (também chamado de fórmula de Green) é a ferramenta natural. O Teorema de Green transforma uma integral de linha fechada da forma
numa integral dupla sobre a região
interior a
:
Vou aplicar esse teorema porque ele costuma simplificar bastante: em vez de parametrizar todo o contorno do quadrilátero (o que daria trabalho), basta calcular derivadas parciais e a área da região
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias. Lembre que aqui
(função dependente só de
) e
.
Derivada parcial de
em relação a
:
pois tratamos
como constante em relação a
.
Derivada parcial de
em relação a
: precisamos lembrar a derivada de
. Uma identidade útil é
(Explicação curta:
e usando regra do quociente chega-se a
.) Então
Passo 4
Aplicar a fórmula do integrando do teorema de Green:
Ou seja, o integrando da integral dupla é constante
. Então a integral de linha fecha-se para a integral da função constante
sobre a área da região
:
Portanto só precisamos calcular a área do quadrilátero
.
Passo 5
Calcular a área do quadrilátero em função das diagonais e do ângulo entre elas. Há uma fórmula prática e elegante: a área
de um quadrilátero cujas diagonais têm comprimentos
e
e que se cruzam com ângulo
é
Rápida justificativa intuitiva: se representarmos os vetores das diagonais como
e
, a área do quadrilátero é
, e
, dando a fórmula acima.
Aqui
,
e
. Assim
Passo 6
Calcular
em forma exata se quisermos. Usando
e a fórmula de soma:
Sabendo
,
e
, obtemos
Substituindo na área:
Passo 7
Lembrando que a integral fechada vale o negativo da área (veja Passo 4), concluímos:
A unidade é
porque as diagonais foram dadas em centímetros e a integral resultou em área.