Calcule \int_{C} t g h y d x-x t g h^{2} y d y, em que C é o quadrilátero P Q R S de diagonais P R e Q S, que formam entre si um ângulo de 75^{\circ}, sendo P R=3 \mathrm{~cm} e Q S=5 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
\oint_{C} \operatorname{tanh} y\,dx - x\,\operatorname{tanh}^{2}y\,dy,
onde C é o quadrilátero PQRS cuja região interior tem diagonais PR e QS que se cruzam com ângulo de 75^\circ, com comprimentos PR=3\\ \text{cm} e QS=5\\ \text{cm}.
Informações dadas, listadas:
  • A curva C é o contorno fechado do quadrilátero PQRS.
  • As diagonais do quadrilátero têm comprimentos \,PR=3\\ \text{cm} e \,QS=5\\ \text{cm}.
  • O ângulo entre as diagonais é \,75^\circ.
  • A integranda é P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy com P(x,y)=\operatorname{tanh} y e Q(x,y)=-x\,\operatorname{tanh}^{2}y.
    A pergunta é: qual o valor numérico da integral fechada \displaystyle\oint_{C}\operatorname{tanh} y\,dx - x\,\operatorname{tanh}^{2}y\,dy?

Passo 2

Escolha do método: como a integral é de linha fechada sobre uma curva simples que circunda uma região plana, o teorema de Green (também chamado de fórmula de Green) é a ferramenta natural. O Teorema de Green transforma uma integral de linha fechada da forma \displaystyle\oint_{C}P\,dx+Q\,dy numa integral dupla sobre a região D interior a C:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Vou aplicar esse teorema porque ele costuma simplificar bastante: em vez de parametrizar todo o contorno do quadrilátero (o que daria trabalho), basta calcular derivadas parciais e a área da região D.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias. Lembre que aqui P(x,y)=\operatorname{tanh} y (função dependente só de y) e Q(x,y)=-x\,\operatorname{tanh}^{2}y.
Derivada parcial de Q em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-x\,\operatorname{tanh}^{2}y\bigr)=-\operatorname{tanh}^{2}y,
pois tratamos \operatorname{tanh}^{2}y como constante em relação a x.
Derivada parcial de P em relação a y: precisamos lembrar a derivada de \operatorname{tanh} y. Uma identidade útil é
\frac{d}{dy}\operatorname{tanh} y = 1-\operatorname{tanh}^{2}y.
(Explicação curta: \operatorname{tanh} y=\dfrac{\operatorname{sinh} y}{\operatorname{cosh} y} e usando regra do quociente chega-se a \operatorname{sech}^2 y = 1-\operatorname{tanh}^2 y.) Então
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{d}{dy}\operatorname{tanh} y=1-\operatorname{tanh}^{2}y.

Passo 4

Aplicar a fórmula do integrando do teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = -\operatorname{tanh}^{2}y -\bigl(1-\operatorname{tanh}^{2}y\bigr) = -1.
Ou seja, o integrando da integral dupla é constante -1. Então a integral de linha fecha-se para a integral da função constante -1 sobre a área da região D:
\oint_{C}\operatorname{tanh} y\,dx - x\operatorname{tanh}^{2}y\,dy = \iint_{D}(-1)\,dA = -\operatorname{Area}(D).
Portanto só precisamos calcular a área do quadrilátero PQRS.

Passo 5

Calcular a área do quadrilátero em função das diagonais e do ângulo entre elas. Há uma fórmula prática e elegante: a área A de um quadrilátero cujas diagonais têm comprimentos d_{1} e d_{2} e que se cruzam com ângulo \theta é
A=\tfrac{1}{2}\,d_{1}d_{2}\sin\theta.
Rápida justificativa intuitiva: se representarmos os vetores das diagonais como \mathbf{u} e \mathbf{v}, a área do quadrilátero é \tfrac{1}{2}|\mathbf{u}\times\mathbf{v}|, e |\mathbf{u}\times\mathbf{v}|=|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta, dando a fórmula acima.
Aqui d_{1}=PR=3\\ \text{cm}, d_{2}=QS=5\\ \text{cm} e \theta=75^\circ. Assim
\operatorname{Area}(D)=\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\cdot\sin 75^\circ = \frac{15}{2}\sin 75^\circ.

Passo 6

Calcular \sin 75^\circ em forma exata se quisermos. Usando \sin(75^\circ)=\sin(45^\circ+30^\circ) e a fórmula de soma:
\sin 75^\circ=\sin 45^\circ\cos 30^\circ+\cos 45^\circ\sin 30^\circ.
Sabendo \sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, obtemos
\sin 75^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{2} =\frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{3}+1)}{4}.
Substituindo na área:
\operatorname{Area}(D)=\frac{15}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{3}+1)}{4}=\frac{15\sqrt{2}\,(\sqrt{3}+1)}{8}.

Passo 7

Lembrando que a integral fechada vale o negativo da área (veja Passo 4), concluímos:
\oint_{C}\operatorname{tanh} y\,dx - x\operatorname{tanh}^{2}y\,dy = -\operatorname{Area}(D) = -\frac{15\sqrt{2}\,(\sqrt{3}+1)}{8}.
A unidade é \text{cm}^2 porque as diagonais foram dadas em centímetros e a integral resultou em área.

Resposta

-\dfrac{15\sqrt{2}\,(\sqrt{3}+1)}{8}

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