Os pontos A e B são equidistantes de Q, pertencente à bissetriz dos quadrantes ímpares. Sendo A(4,2) e B(6,8), quais são as coordenadas de Q ?

Passo 1

O enunciado diz que temos os pontos A(4,2) e B(6,8), que Q é equidistante de A e B e pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares (1º e 3º). O conteúdo envolve geometria analítica: equação da reta bissetriz e definição de distância entre pontos.

Passo 2

A bissetriz dos quadrantes 1 e 3 é a reta que faz ângulo de 45° e 225° com o eixo x, ou seja, é a reta cujos pontos satisfazem
y = x
Logo, podemos representar Q como (t,t).

Passo 3

Para Q ser equidistante de A e B, usamos a igualdade das distâncias: dist(Q,A) = dist(Q,B). Aplicando a fórmula da distância no plano:
(t-4)^2 + (t-2)^2 = (t-6)^2 + (t-8)^2

Passo 4

Agora expandimos, simplificamos e resolvemos para t:
(t-4)^2 + (t-2)^2 = t^2 - 8t +16 + t^2 -4t +4 = 2t^2 -12t +20
(t-6)^2 + (t-8)^2 = t^2 -12t +36 + t^2 -16t +64 = 2t^2 -28t +100
Igualando as duas expressões e cancelando 2t^2:
-12t +20 = -28t +100
Isolando t:
16t = 80
t = 5

Passo 5

Portanto Q = (t,t) = (5,5).

Resposta

(5,5)

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