Os pontos A=(8,1) e B=(4,2) são simétricos em relação a uma reta r. Determine a equação geral de r.

Passo 1

O enunciado diz que os pontos A=(8,1) e B=(4,2) são simétricos em relação à reta r. Em geometria analítica, isso significa que r é a mediatriz do segmento AB: ela passa pelo ponto médio de AB e é perpendicular a AB.

Passo 2

Calcular o ponto médio M de A e B. As coordenadas de M são
Ml(tfrac8+42,,tfrac1+22r) = (6,,1,5)

Passo 3

Determinar a inclinação (coeficiente angular) da reta que passa por A e B. Temos
mAB = yB - yAxB - xA = 2 - 14 - 8 = 1-4 = -tfrac14
Como r é perpendicular a AB, seu coeficiente angular é o negativo do recíproco de -tfrac14, isto é,
mr = 4

Passo 4

Escrever a equação de r em forma ponto–inclinação usando M=(6,1,5) e mr=4:
y - 1,5 = 4l(x - 6r)

Passo 5

Transformar para a forma geral Ax + By + C=0. Expandindo:
y - 1,5 = 4x - 24 Longrightarrow 4x - y - 24 - 1,5 = 0 Longrightarrow 4x - y - 25,5 = 0
Multiplicando por 2 para eliminar o decimal:
8x - 2y - 51 = 0

Resposta

A equação geral da reta r é
8x - 2y - 51 = 0

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