Discuta em função de m o sistema:
cx+2 y-z=3 2 x-m y-2 z=6 3 x+6 y-m z=2

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações em três incógnitas que depende do parâmetro
O objetivo é discutir, em função de (m], quando o sistema tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. Vamos usar teoria de sistemas lineares: cálculo do determinante da matriz dos coeficientes e, nos casos adequados, eliminação de variáveis.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 2 & -1 2 & -m & -2 3 & 6 & -m
e calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdotdet-m & -26 & -m -2cdotdet2 & -23 & -m -1cdotdet2 & -m3 & 6
Isso dá
det(A)=m^2+12;+;4m-12;-;(12+3m) = m^2 + m - 12 = (m+4)(m-3)

Passo 3

Quando det(A)neq0, ou seja para mneq3 e mneq -4, o sistema tem solução única. Para encontrá-la basta usar eliminação:
Da equação (1):
x = 3 - 2y + z
Substituindo em (2):
2(3-2y+z) - m y - 2z = 6 Longrightarrow 6 - (m+4)y = 6 Longrightarrow y = 0
Então
x = 3 + z
Substituindo em (3):
3(3+z)+6cdot0 - m z = 2 Longrightarrow 9 + (3-m)z = 2 Longrightarrow (m-3)z = 7 Longrightarrow z = 7m-3
Logo
x = 3 + 7m-3 = 3m-2m-3

Passo 4

Para m = 3 temos det(A)=0. As equações ficam
x+2y-z=3, 2x-3y-2z=6, 3x+6y-3z=2
Mas a terceira é 3(x+2y-z)=9neq2, o que torna o sistema inconsistente. Portanto não há solução.

Passo 5

Para m = -4 também det(A)=0. As equações são
x+2y-z=3, 2x+4y-2z=6, 3x+6y+4z=2
A segunda é 2 vezes a primeira, logo redundante. Usando x=3-2y+z na terceira,
3(3-2y+z)+6y+4z=2 Longrightarrow 9+7z=2 Longrightarrow z=-1,
e x=2-2y. Há, portanto, infinitas soluções
(x,y,z)=(2-2t,;t,;-1), tinR

Resposta

Para mneq -4 e mneq 3: solução única l(x,y,zr)=l(tfrac3m-2m-3,0,tfrac7m-3r).\n
Para m=3: sem solução.\n
Para m=-4: infinitas soluções (x,y,z)=(2-2t,t,-1), tinR.

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