1. Nos pontos A e B , separados pela distância \mathrm{AB}=3 \mathrm{~m}, fixam-se cargas elétricas puntiformes Q_{A}=8 \mu \mathrm{C} e Q_{B}=2 \mu \mathrm{C} respectivamente. Determine a distância entre um ponto onde o vetor campo elétrico resultante é nulo e o ponto A .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Duas cargas puntiformes estão fixas nos pontos A e B.
  • A distância entre elas é \mathrm{AB}=3\\ \text{m}.
  • Q_{A}=8\\ \mu\mathrm{C}.
  • Q_{B}=2\\ \mu\mathrm{C}.
O que o problema pede:
  • Determinar a distância entre um ponto, onde o vetor campo elétrico resultante é nulo, e o ponto A. Em outras palavras, achar a distância x medida a partir de A até o ponto onde o campo elétrico total é zero.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicadinho):
  • O campo elétrico criado por uma carga puntiforme Q em uma distância r tem módulo dado por
E=\dfrac{k\,Q}{r^{2}},
onde k é a constante eletrostática ( k aparece em todas as duas contribuições e vai se cancelar nas equações) e:
  • E é o módulo do campo elétrico,
  • Q é a carga que cria o campo (positivo -> campo apontando para fora; negativo -> apontando para dentro),
  • r é a distância do ponto considerado até a carga.
  • Princípio da superposição: o campo elétrico total num ponto é a soma vetorial dos campos criados por cada carga. Para cargas na mesma reta, basta somar com sinais adequados (direções opostas têm sinais opostos).

Passo 3

Raciocínio sobre onde o campo resultante pode ser nulo:
  • Como Q_{A} e Q_{B} são ambas positivas, o campo de cada uma afasta-se da respectiva carga.
  • Em pontos fora do segmento AB (à esquerda de A ou à direita de B), os dois campos apontam na mesma direção (ambos para a esquerda ou ambos para a direita), então não podem se anular.
  • Entre A e B os campos têm direções opostas (o de A aponta para a direita e o de B aponta para a esquerda), portanto é nessa região que pode haver cancelamento e E_{\text{resultante}}=0. Assim, vamos procurar a solução com o ponto entre A e B.

Passo 4

Escolha de sistema de referência e notação:
  • Coloco A em x=0 e B em x=3\\ \text{m}.
  • Seja x a distância do ponto procurado até A. Como buscamos um ponto entre A e B, temos 0<x<3.
  • Então a distância desse ponto até B é 3-x.

Passo 5

Escrever a condição de cancelamento dos módulos dos campos (já que as direções são opostas entre A e B):
  • Módulo do campo devido a Q_{A} em ponto a distância x de A:
E_{A}=\dfrac{k\,Q_{A}}{x^{2}}.
  • Módulo do campo devido a Q_{B} em ponto a distância 3-x de B:
E_{B}=\dfrac{k\,Q_{B}}{(3-x)^{2}}.
Igualando E_{A}=E_{B} (pois devem ter mesmos módulos para se cancelarem vetorialmente):
\dfrac{k\,Q_{A}}{x^{2}}=\dfrac{k\,Q_{B}}{(3-x)^{2}}.
Cancelar k dos dois lados:
\dfrac{Q_{A}}{x^{2}}=\dfrac{Q_{B}}{(3-x)^{2}}.

Passo 6

Resolver a equação para x:
  • Todas as quantidades no intervalo entre A e B são positivas, portanto podemos tirar raiz quadrada de ambos os lados sem mexer no sinal:
\dfrac{\sqrt{Q_{A}}}{x}=\dfrac{\sqrt{Q_{B}}}{3-x}.
  • Isolando x, chamo s=\sqrt{\dfrac{Q_{A}}{Q_{B}}}. Então
\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{3-x}\cdot \dfrac{\sqrt{Q_{B}}}{\sqrt{Q_{A}}}=\dfrac{1}{3-x}\cdot \dfrac{1}{s},
ou de forma direta mais simples:
x=(3-x)\,s.
  • Rearranjando:
x = 3s - s x \quad\Rightarrow\quad x(1+s)=3s \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{3s}{1+s}.

Passo 7

Substituir os valores numéricos:
  • Primeiro calcule s:
s=\sqrt{\dfrac{Q_{A}}{Q_{B}}}=\sqrt{\dfrac{8\\ \mu\mathrm{C}}{2\\ \mu\mathrm{C}}}=\sqrt{4}=2.
  • Logo
x=\dfrac{3\cdot 2}{1+2}=\dfrac{6}{3}=2\\ \text{m}.

Passo 8

Verificação e conclusão:
  • O valor x=2\\ \text{m} está entre 0 e 3, ou seja, entre A e B, como esperado.
  • Não há pontos fora do segmento que anulem o campo quando as duas cargas são positivas (já justificamos isso no Passo 3), então esta é a única posição válida.

Resposta

2\\ \text{m}

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