- Nos pontos A e B , separados pela distância
, fixam-se cargas elétricas puntiformes
e
respectivamente. Determine a distância entre um ponto onde o vetor campo elétrico resultante é nulo e o ponto A .
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Duas cargas puntiformes estão fixas nos pontos
e . - A distância entre elas é
. -
. -
.
O que o problema pede:
- Determinar a distância entre um ponto, onde o vetor campo elétrico resultante é nulo, e o ponto
. Em outras palavras, achar a distância medida a partir de até o ponto onde o campo elétrico total é zero.
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicadinho):
- O campo elétrico criado por uma carga puntiforme
em uma distância tem módulo dado por
onde
é a constante eletrostática (
aparece em todas as duas contribuições e vai se cancelar nas equações) e:
-
é o módulo do campo elétrico, -
é a carga que cria o campo (positivo -> campo apontando para fora; negativo -> apontando para dentro), -
é a distância do ponto considerado até a carga. - Princípio da superposição: o campo elétrico total num ponto é a soma vetorial dos campos criados por cada carga. Para cargas na mesma reta, basta somar com sinais adequados (direções opostas têm sinais opostos).
Passo 3
Raciocínio sobre onde o campo resultante pode ser nulo:
- Como
e são ambas positivas, o campo de cada uma afasta-se da respectiva carga. - Em pontos fora do segmento
(à esquerda de ou à direita de ), os dois campos apontam na mesma direção (ambos para a esquerda ou ambos para a direita), então não podem se anular. - Entre
e os campos têm direções opostas (o de aponta para a direita e o de aponta para a esquerda), portanto é nessa região que pode haver cancelamento e . Assim, vamos procurar a solução com o ponto entre e .
Passo 4
Escolha de sistema de referência e notação:
- Coloco
em e em . - Seja
a distância do ponto procurado até . Como buscamos um ponto entre e , temos . - Então a distância desse ponto até
é .
Passo 5
Escrever a condição de cancelamento dos módulos dos campos (já que as direções são opostas entre
e
):
- Módulo do campo devido a
em ponto a distância de :
- Módulo do campo devido a
em ponto a distância de :
Igualando
(pois devem ter mesmos módulos para se cancelarem vetorialmente):
Cancelar
dos dois lados:
Passo 6
Resolver a equação para
:
- Todas as quantidades no intervalo entre
e são positivas, portanto podemos tirar raiz quadrada de ambos os lados sem mexer no sinal:
- Isolando
, chamo . Então
ou de forma direta mais simples:
- Rearranjando:
Passo 7
Substituir os valores numéricos:
- Primeiro calcule
:
- Logo
Passo 8
Verificação e conclusão:
- O valor
está entre e , ou seja, entre e , como esperado. - Não há pontos fora do segmento que anulem o campo quando as duas cargas são positivas (já justificamos isso no Passo 3), então esta é a única posição válida.