Questão 15.
Um estudante, dentro de um carro parado, observa a chuva cair fazendo um angulo de 30^{\circ} com a vertical. Com o carro em movimento retilíneo e uniforme contra a chuva a uma velocidade de 40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, o estudante nota que o ângulo de inclinação da chuva com a vertical aumenta para 60^{\circ}. Os módulos da velocidade da chuva em relação ao carro e da velocidade da chuva em relação ao solo, respectivamente, são, aproximadamente,
A ( ) 69,3 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e 40,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
B ( ) 40,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e 69,3 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
C ( ) 34,6 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e 20,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
D ( ) 80,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e 40,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
\mathbf{E}() 60,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e 34,6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Um estudante dentro de um carro parado vê a chuva formando um ângulo de 30^\circ com a vertical.
  • Com o carro em movimento retilíneo e uniforme “contra a chuva” com velocidade 40\\ \mathrm{km/h}, o estudante passa a ver a chuva formando um ângulo de 60^\circ com a vertical.
  • O que se pede: os módulos (ou magnitudes) da velocidade da chuva
    1. em relação ao carro;
    2. em relação ao solo.
  • Dados numéricos extraídos do enunciado: velocidade do carro V=40\\ \mathrm{km/h}, ângulos \,30^\circ e \,60^\circ.

Passo 2

Entender as velocidades como vetores e escrever a relação de velocidade relativa (isso é só uma equação vetorial básica).
  • Denotar por \vec{v}_{g} a velocidade da chuva em relação ao solo (ground) e por \vec{v}_{c} a velocidade do carro em relação ao solo.
  • A velocidade da chuva vista do carro (velocidade relativa chuva→carro) é
\vec{v}_{\text{rel}}=\vec{v}_{g}-\vec{v}_{c}.
Explicação simples: a velocidade relativa é o que sobra quando “subtrai” a velocidade do observador (o carro) da velocidade do objeto visto (a chuva).

Passo 3

Escolher um sistema de eixos e decompor as velocidades em componentes horizontais e verticais.
  • Eixo vertical (para baixo) e eixo horizontal (no sentido do deslocamento horizontal da chuva). Seja:
    • u a componente horizontal da velocidade da chuva em relação ao solo (módulo, podemos tomar u\ge0 no sentido que faz a chuva “inclinar”),
    • w a componente vertical (módulo, positiva para baixo).
  • Quando o carro está parado, o observador no carro vê a chuva com ângulo \,30^\circ com a vertical. A tangente desse ângulo relaciona as componentes horizontal e vertical:
\tan 30^\circ=\frac{u}{w}.
  • Quando o carro se move contra a chuva com velocidade V (o carro move-se no sentido oposto de u), a componente horizontal da velocidade da chuva vista do carro fica u+V (pois os sinais se somam na subtração vetorial). Então, para o ângulo \,60^\circ observado no carro:
\tan 60^\circ=\frac{u+V}{w}.

Passo 4

Usar as duas equações trigonométricas para encontrar u e w.
  • Escrever as duas igualdades:
\tan 30^\circ=\frac{u}{w},\qquad \tan 60^\circ=\frac{u+V}{w}.
  • Dividir a segunda pela primeira para eliminar w:
\frac{\tan 60^\circ}{\tan 30^\circ}=\frac{u+V}{u}.
  • Usar os valores conhecidos \tan 30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}} e \tan 60^\circ=\sqrt{3}. Então
\frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}}=3=\frac{u+V}{u}\quad\Rightarrow\quad u+V=3u\quad\Rightarrow\quad V=2u.
  • Como V=40\\ \mathrm{km/h}, obtemos
u=\frac{V}{2}=\frac{40}{2}=20\\ \mathrm{km/h}.
  • Agora obter w a partir de \tan 30^\circ=\dfrac{u}{w}:
w=\frac{u}{\tan 30^\circ}=u\sqrt{3}=20\sqrt{3}\\ \mathrm{km/h}\approx34{,}641\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Calcular a velocidade da chuva em relação ao solo (módulo de \vec{v}_{g}).
  • A velocidade em relação ao solo tem magnitude
v_{g}=\sqrt{u^{2}+w^{2}}.
  • Substituindo u=20 e w=20\sqrt{3}:
v_{g}=\sqrt{20^{2}+(20\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{400+400\cdot3}=\sqrt{1600}=40\\ \mathrm{km/h}.

Passo 6

Calcular a velocidade da chuva em relação ao carro (módulo de \vec{v}_{\text{rel}}).
  • A componente horizontal relativa é u+V=20+40=60\\ \mathrm{km/h} e a vertical continua w=20\sqrt{3}.
  • O módulo é
v_{\text{rel}}=\sqrt{(u+V)^{2}+w^{2}}=\sqrt{60^{2}+(20\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{3600+1200}=\sqrt{4800}=40\sqrt{3}\\ \mathrm{km/h}.
  • Em valor decimal aproximado:
v_{\text{rel}}\approx 40\cdot1{,}73205\approx69{,}3\\ \mathrm{km/h}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida (pra ficar seguro).
  • Velocidade da chuva em relação ao carro: v_{\text{rel}}\approx69{,}3\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade da chuva em relação ao solo: v_{g}=40{,}0\\ \mathrm{km/h}.
  • Observação: sanidade dos números — faz sentido que a velocidade relativa vista do carro seja maior que a velocidade em relação ao solo porque o carro se move contra a componente horizontal da chuva.

Resposta

69{,}3\\ \mathrm{km/h} e 40{,}0\\ \mathrm{km/h}

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