( 3,4 pontos) Um bloco de madeira tem massa 4,68 \mathrm{~kg} e uma massa especifica de 556 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}. Devemos colocar uma massa de chumbo sobre o bloco para que ele flutue, paralelamente ao nível da água, totalmente submerso. Que massa de chumbo é necessária, supondo que o chumbo fique totalmente fora da água? Sabemos que as densidades da água e do chumbo valem \rho_{\mathrm{A}}=1,00.10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \rho_{\mathrm{C}}=1,14.10^{4} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede:
  • Massa do bloco de madeira: m_{\mathrm{b}} = 4{,}68\\ \mathrm{kg}.
  • Densidade (massa específica) do bloco: \rho_{\mathrm{b}} = 556\\ \mathrm{kg}\!/\mathrm{m}^3.
  • Densidade da água: \rho_{\mathrm{A}} = 1{,}00\cdot10^{3}\\ \mathrm{kg}\!/\mathrm{m}^3.
  • Densidade do chumbo: \rho_{\mathrm{C}} = 1{,}14\cdot10^{4}\\ \mathrm{kg}\!/\mathrm{m}^3 (informação dada; o enunciado diz que o chumbo ficará totalmente fora da água).
  • Situação desejada: o bloco deve flutuar totalmente submerso e paralelo à superfície, com o chumbo apoiado sobre o bloco e totalmente fora da água.
O que se pede:
  • A massa do chumbo m_{\mathrm{C}} que devemos colocar sobre o bloco para que o sistema (bloco + chumbo) fique em equilíbrio flutuante, com o bloco totalmente submerso e o chumbo fora da água.

Passo 2

Princípio físico e equação básica (aula rápida e prática).
  • Arquimedes nos diz que a força de empuxo (E) que age sobre um corpo submerso é igual ao peso do fluido deslocado.
  • Em linguagem de massas (substituindo peso por massa vezes g), o empuxo é:
E = m_{\text{fluido deslocado}}\;g = \rho_{\mathrm{A}}\,V_{\text{deslocado}}\;g,
onde:
  • \rho_{\mathrm{A}} é a densidade da água,
  • V_{\text{deslocado}} é o volume de água deslocado (no nosso caso, como o bloco fica totalmente submerso e o chumbo fora da água, V_{\text{deslocado}} = V_{\mathrm{b}}, volume do bloco),
  • g é a aceleração da gravidade (cancela nas equações de equilíbrio de forças).
  • Condição de equilíbrio (flutuação sem aceleração vertical): empuxo = peso total do sistema:
\rho_{\mathrm{A}}\,V_{\mathrm{b}}\;g = \bigl(m_{\mathrm{b}} + m_{\mathrm{C}}\bigr)\;g.
Cancelando g:
\rho_{\mathrm{A}}\,V_{\mathrm{b}} = m_{\mathrm{b}} + m_{\mathrm{C}}.
Logo:
m_{\mathrm{C}} = \rho_{\mathrm{A}}\,V_{\mathrm{b}} - m_{\mathrm{b}}.

Passo 3

Calcular o volume do bloco V_{\mathrm{b}}.
  • Fórmula da densidade: \rho_{\mathrm{b}} = \dfrac{m_{\mathrm{b}}}{V_{\mathrm{b}}}. Isolando V_{\mathrm{b}}:
V_{\mathrm{b}} = \dfrac{m_{\mathrm{b}}}{\rho_{\mathrm{b}}}.
  • Substituindo os valores dados:
V_{\mathrm{b}} = \dfrac{4{,}68}{556}\\ \mathrm{m}^3.
  • Fazendo a divisão:
V_{\mathrm{b}} \approx 0{,}0084144\\ \mathrm{m}^3.
Explicação curta: isso significa que o bloco ocupa cerca de 8{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3, ou 8{,}4 litros — é um número pequeno mas coerente com a massa e densidade dadas.

Passo 4

Calcular a massa de água deslocada, que é \rho_{\mathrm{A}}\,V_{\mathrm{b}}.
m_{\text{água deslocada}} = \rho_{\mathrm{A}}\,V_{\mathrm{b}} = \bigl(1{,}00\cdot10^{3}\bigr)\cdot 0{,}0084144\\ \mathrm{kg}.á
m_{\text{água deslocada}} \approx 8{,}4144\\ \mathrm{kg}.á
Interpretação: o empuxo suporta o peso de 8{,}4144\\ \mathrm{kg} de massa (em termos de peso), então o total bloco + chumbo deve ter massa igual a esse valor.

Passo 5

Calcular a massa necessária do chumbo m_{\mathrm{C}}.
m_{\mathrm{C}} = m_{\text{água deslocada}} - m_{\mathrm{b}} = 8{,}4144 - 4{,}68\\ \mathrm{kg}.á
m_{\mathrm{C}} \approx 3{,}7344\\ \mathrm{kg}.
Comentário pedagógico e verificação rápida: o valor é positivo (logo faz sentido físico). Observe que a densidade do chumbo fornecida não é necessária para o cálculo porque o chumbo permanece fora da água e, portanto, não contribui para o volume deslocado — só conta como peso agregado. Se o chumbo ficasse parcialmente submerso, aí sim a densidade do chumbo entraria no balanço.

Passo 6

Arredondamento e sig figs (como dar a resposta na prova).
  • Os dados do enunciado têm tipicamente 3 algarismos significativos ( 4{,}68, 556, 1{,}00\cdot10^{3}), então é razoável apresentar o resultado com 3 algarismos significativos:
m_{\mathrm{C}} \approx 3{,}73\\ \mathrm{kg}.

Resposta

3{,}73\\ \mathrm{kg}

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