4- (2,0 pontos) Um bloco de massa m repousa sobre um plano inclinado sem atrito, e cuja a inclinaçào é theta. O plano inclinado possui uma aceleraçào para a direita, de mode que o bloco permanece em parado em relação ao plano inclinado. Faça o diagrama das forças e determine a aceleração do plano inclinado em função de theta e g, em que g é a aceleração da gravidade.

Passo 1

O enunciado nos dá um bloco de massa m sobre um plano inclinado sem atrito, com ângulo de inclinação theta. O plano recebe uma aceleração horizontal a para a direita de modo que o bloco permaneça em repouso relativo a ele. O que vamos usar aqui é a Segunda Lei de Newton num referencial não inercial (ligado ao plano) e decompor as forças atuantes.

Passo 2

No diagrama de forças sobre o bloco (em seu referencial acelerado) temos:
  • Peso vec P = mvec g apontando vertical para baixo.
  • Força normal vec N atuando perpendicularmente à superfície do plano.
  • Força de inércia fictícia vec Fin = -mvec a, horizontal para a esquerda.
Para facilitar, escolhemos um sistema de eixos cujos eixos x e y estão fixos no plano:
x ao longo da rampa, apontando para baixo;
y perpendicular à rampa, apontando para fora.

Passo 3

Projetamos as forças no eixo x:
  1. Componente do peso ao longo da rampa:
Px = mgsintheta
no sentido positivo de x.
  1. Componente da força de inércia ao longo da rampa:
Fin,x = -,m,acostheta
ou seja, módulo macostheta no sentido oposto ao de x.
Como o bloco não se move no sentido da rampa, a soma das projeções é zero:
mgsintheta - macostheta = 0

Passo 4

Da equação de equilíbrio no eixo x temos:
mgsintheta = macostheta Longrightarrow a = g,tantheta

Resposta

a = gtantheta

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