(2,0 pontos) Um doido sobe em um caminhão, de altura h em relação ao solo plano, e atira uma pedra para cima e para frente com velocidade v0 e um ângulo theta0, (ângulo que vetor velocidade faz com o eixo horizontal). Encontre o alcance dessa pedra, quando atingir o solo em função de v0, theta a0, h e g, em que g é a aceleração da gravidade.

Passo 1

O enunciado trata do lançamento oblíquo de uma pedra que sai de uma altura h acima do solo com velocidade inicial v0 formando um ângulo theta0 em relação à horizontal. Queremos determinar o alcance horizontal, isto é, a distância R entre o ponto de lançamento e o ponto onde ela atinge o solo, em função de v0, theta0, h e g. Para isso vamos usar as equações paramétricas do movimento com aceleração g constante na vertical.

Passo 2

Escrevemos as posições horizontal e vertical em função do tempo t:
x(t)=v0costheta0,t,
y(t)=h+v0sintheta0,t-tfrac12g,t^2
O alcance R ocorre quando y(t)=0. Então precisamos achar o tempo de voo T solução positiva de
h+v0sintheta0,T-tfrac12g,T^2=0

Passo 3

Reescrevendo como equação quadrática em T:
tfrac12g,T^2-v0sintheta0,T-h=0
Pela fórmula de Bhaskara, o tempo de queda (raiz positiva) é
T=v0sintheta0+raizv0^2sin^2theta0+2g,hg

Passo 4

O alcance R é a componente horizontal da posição no instante T:
R=x(T)=v0costheta0,T
Substituindo T:
R =;v0costheta0;v0sintheta0+raizv0^2sin^2theta0+2g,hg

Resposta

R =v0costheta0gl(v0sintheta0+raizv0^2sin^2theta0+2g,hr)

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