12- Usando as expressões obtidas em sala de aula para os coeficientes de Fresnel, mostre que Rp+Tp=1=Rs+Ts. Por que deveria ser assim?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, usando as fórmulas de Fresnel para uma interface sem absorção, temos
Rs + Ts = 1 e Rp + Tp = 1
O conteúdo envolvido é conservação de energia (fluxo incidente = fluxo refletido + fluxo transmitido) e as expressões de R e T vistas em sala.

Passo 2

Relembremos as fórmulas para polarização s:
Rs = |n1costhetai - n2costhetatn1costhetai + n2costhetat|^2,
Ts = 4,n1,n2,costhetai,costhetatl(n1costhetai + n2costhetatr)^2

Passo 3

Somamos Rs + Ts mantendo o mesmo denominador:
Rs + Ts = (n1costhetai - n2costhetat)^2(n1costhetai + n2costhetat)^2 + 4,n1,n2,costhetai,costhetat(n1costhetai + n2costhetat)^2
No numerador somamos
(n1costhetai - n2costhetat)^2 +4,n1,n2,costhetai,costhetat = n1^2cos^2thetai + n2^2cos^2thetat -2n1n2costhetaicosthetat +4n1n2costhetaicosthetat,
= n1^2cos^2thetai + n2^2cos^2thetat +2n1n2costhetaicosthetat = (n1costhetai + n2costhetat)^2
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Rs+Ts = (n1costhetai + n2costhetat)^2(n1costhetai + n2costhetat)^2 =1

Passo 4

Para polarização p, as fórmulas são
Rp = |n2costhetai - n1costhetatn2costhetai + n1costhetat|^2,
Tp = 4,n1,n2,costhetai,costhetatl(n2costhetai + n1costhetatr)^2
Repetindo o cálculo de soma, chegamos a
Rp + Tp = (n2costhetai - n1costhetat)^2 +4n1n2costhetaicosthetat (n2costhetai + n1costhetat)^2 =1
pelo mesmo desenvolvimento algébrico.

Passo 5

Fisicamente, isso ocorre porque a interface não absorve energia: o fluxo de energia incidente precisa se repartir entre reflexão e transmissão, de modo que a soma das frações refletida e transmitida seja igual ao fluxo incidente total. Portanto, R+T=1 para ambas as polarizações.

Resposta

Para ambas as polarizações s e p vale
Rs + Ts = 1 e Rp + Tp = 1,
como exigido pela conservação de energia em uma interface sem perdas.

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