4 [ 2,0 pontos] - Um elétron descreve uma trajetória helicoidal em um campo magnético uniforme de módulo \mathrm{B}=0,30 \mathrm{~T}. O passo da hélice é \mathrm{p}=6,00 \mu \mathrm{~m} e o módulo da força magnética experimentada pelo elétron é F_{B}=2,00 \times 10^{-5} \mathrm{~N}.
A) Determinar o VETOR VELOCIDADE e seu MÓDULO
B) Determinar o RAIO da trajetória circular
C) Determinar a FREQUÊNCIA de oscilação
D) Determinar a FREQUÊNCIA ANGULAR do movimento

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados numéricos que vou usar (peguei estes números da imagem enviada).
  • O enunciado pede:
    • (A) Determinar o VETOR VELOCIDADE e seu MÓDULO;
    • (B) Determinar o RAIO da trajetória circular (da componente perpendicular);
    • (C) Determinar a FREQUÊNCIA de oscilação (número de voltas por segundo);
    • (D) Determinar a FREQUÊNCIA ANGULAR do movimento.
  • Dados (peguei da imagem):
    • B=0{,}30\\ \mathrm{T}
    • passo da hélice p=6{,}00\\ \mu\mathrm{m}=6{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{m}
    • força magnética (módulo) F_{B}=2{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{N}
    • partícula: elétron, com carga em módulo |q|=e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} e massa m=9{,}109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Observação importante (apenas organizando dados): a força magnética dada refere-se ao módulo da força centrípeta associada ao movimento circular perpendicular ao campo; usarei a relação entre força magnética e componente perpendicular da velocidade.

Passo 2

Entendendo o movimento e como decompor a velocidade.
  • Em um campo magnético uniforme, a velocidade de uma partícula descrevendo uma hélice pode ser decomposta em \vec v = \vec v_{\perp} + \vec v_{\parallel},onde \vec v_{\perp} é a componente perpendicular a \vec B (responsável pela circulação circular) e \vec v_{\parallel} é a componente paralela a \vec B (responsável ao deslocamento axial, que dá o passo da hélice).
  • Convenho um sistema de referência simples: tomo \vec B = B\,\hat z. Assim uma escolha conveniente para a velocidade instantânea (escolhendo a fase) é \vec v = v_{\perp}\,\hat x + v_{\parallel}\,\hat z.Essa escolha corresponde a tomar a componente circular no instante com projeção somente em \hat x (fase zero) — qualquer outra fase daria componentes em \hat x e \hat y, mas o módulo e as magnitudes são os mesmos.
  • A força magnética (módulo) sobre carga em movimento é F_{B}=|q|\,v_{\perp}\,B,porque a força magnética máxima ocorre quando a velocidade é perpendicular ao campo; aqui v_{\perp} é a magnitude da componente perpendicular. Dessa fórmula, isolamos v_{\perp}: v_{\perp}=\frac{F_{B}}{|q|\,B}.
  • Substituindo os números (faço as contas passo a passo): |q|\,B = (1{,}602\times10^{-19})(0{,}30)=4{,}806\times10^{-20}\\ \mathrm{C\cdot T}.
v_{\perp}=\frac{2{,}00\times10^{-5}}{4{,}806\times10^{-20}} \approx 4{,}16\times10^{14}\\ \mathrm{m/s}.
  • Explicação do que cada símbolo quer dizer:
    • F_{B} é o módulo da força magnética fornecida;
    • |q| é o módulo da carga do elétron;
    • B é o módulo do campo magnético;
    • v_{\perp} é a magnitude da componente da velocidade perpendicular a \vec B.

Passo 3

Cálculo da frequência ciclótica (frequência de revoluções) e do período.
  • A frequência de rotação (frequência ciclótica) para a componente perpendicular de uma carga em campo magnético uniforme é independente da velocidade e dada por f=\frac{|q|\,B}{2\pi m}.Essa fórmula vem de igualar a força centrípeta m v_{\perp}^{2}/r à força magnética |q| v_{\perp} B e usar v_{\perp}=2\pi r f; o resultado simples é que a frequência só depende de carga, campo e massa.
  • Substituindo valores: f=\frac{(1{,}602\times10^{-19})(0{,}30)}{2\pi(9{,}109\times10^{-31})} \approx 8{,}40\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
  • O período é T=1/f: T\approx 1{,}19\times10^{-10}\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Determinar a componente paralela v_{\parallel} usando o passo da hélice.
  • O passo p é a distância axial percorrida em uma volta completa; portanto p=v_{\parallel}\,T \quad\Rightarrow\quad v_{\parallel}=\frac{p}{T}.
  • Substituindo p=6{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{m} e T\approx1{,}19\times10^{-10}\\ \mathrm{s}: v_{\parallel}=\frac{6{,}00\times10^{-6}}{1{,}19\times10^{-10}} \approx 5{,}04\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Montar o vetor velocidade e calcular o módulo total.
  • Escolhendo a fase como antes (componente circular alinhada ao eixo x naquele instante), o vetor velocidade instantâneo pode ser escrito como \vec v = v_{\perp}\,\hat x + v_{\parallel}\,\hat z.Substituindo os valores numéricos: \vec v \approx (4{,}16\times10^{14})\,\hat x + (5{,}04\times10^{4})\,\hat z\\ \mathrm{m/s}.
  • O módulo da velocidade é v=\sqrt{v_{\perp}^{2}+v_{\parallel}^{2}} \approx\sqrt{(4{,}16\times10^{14})^{2}+(5{,}04\times10^{4})^{2}} \approx 4{,}16\times10^{14}\\ \mathrm{m/s}.(a componente paralela é completamente negligível comparada à perpendicular nesse resultado numérico.)

Passo 6

Determinar o raio da trajetória circular (componente perpendicular).
  • A relação entre raio r, massa, velocidade perpendicular e campo é a que vem da igualdade força magnética = força centrípeta: r=\frac{m\,v_{\perp}}{|q|\,B}.
  • Substituindo valores: r=\frac{(9{,}109\times10^{-31})(4{,}16\times10^{14})}{(1{,}602\times10^{-19})(0{,}30)} \approx 7{,}89\times10^{3}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Determinar a frequência angular \omega.
  • A frequência angular está relacionada com a frequência por \omega=2\pi f. Também vale a forma direta \omega=\frac{|q|\,B}{m}.
  • Calculando numericamente: \omega = 2\pi f \approx 2\pi(8{,}40\times10^{9}) \approx 5{,}28\times10^{10}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 8

Comentário final (rápido e motivador)
  • Já temos todas as quantidades pedidas com os valores numéricos. Sei que alguns números (como v_{\perp} e r) ficaram muito grandes — isso vem diretamente das entradas numéricas fornecidas e das fórmulas padrão. Vai dar pra conferir na prova exatamente com esses passos: calcule v_{\perp} a partir de F_B, calcule f por |q|B/(2\pi m), use p=v_{\parallel}T para achar v_{\parallel}, monte o vetor e calcule r por m v_{\perp}/(|q|B). Seguindo essa receita passo a passo você resolve certeiro.

Resposta

(A) \displaystyle \vec v \approx (4{,}16\times10^{14})\,\hat x + (5{,}04\times10^{4})\,\hat z\\ \mathrm{m/s} \quad\text{e}\quad v\approx 4{,}16\times10^{14}\\ \mathrm{m/s}.
(B) \displaystyle r\approx 7{,}89\times10^{3}\\ \mathrm{m}.
(C) \displaystyle f\approx 8{,}40\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
(D) \displaystyle \omega\approx 5{,}28\times10^{10}\\ \mathrm{rad/s}.

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