4 [ 2,0 pontos] - Um elétron descreve uma trajetória helicoidal em um campo magnético uniforme de módulo
. O passo da hélice é
e o módulo da força magnética experimentada pelo elétron é
.
A) Determinar o VETOR VELOCIDADE e seu MÓDULO
B) Determinar o RAIO da trajetória circular
C) Determinar a FREQUÊNCIA de oscilação
D) Determinar a FREQUÊNCIA ANGULAR do movimento
A) Determinar o VETOR VELOCIDADE e seu MÓDULO
B) Determinar o RAIO da trajetória circular
C) Determinar a FREQUÊNCIA de oscilação
D) Determinar a FREQUÊNCIA ANGULAR do movimento
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados numéricos que vou usar (peguei estes números da imagem enviada).
- O enunciado pede:
- (A) Determinar o VETOR VELOCIDADE e seu MÓDULO;
- (B) Determinar o RAIO da trajetória circular (da componente perpendicular);
- (C) Determinar a FREQUÊNCIA de oscilação (número de voltas por segundo);
- (D) Determinar a FREQUÊNCIA ANGULAR do movimento.
- Dados (peguei da imagem):
-
- passo da hélice
- força magnética (módulo)
- partícula: elétron, com carga em módulo
e massa .
-
- Observação importante (apenas organizando dados): a força magnética dada refere-se ao módulo da força centrípeta associada ao movimento circular perpendicular ao campo; usarei a relação entre força magnética e componente perpendicular da velocidade.
Passo 2
Entendendo o movimento e como decompor a velocidade.
- Em um campo magnético uniforme, a velocidade de uma partícula descrevendo uma hélice pode ser decomposta em
onde é a componente perpendicular a (responsável pela circulação circular) e é a componente paralela a (responsável ao deslocamento axial, que dá o passo da hélice). - Convenho um sistema de referência simples: tomo
. Assim uma escolha conveniente para a velocidade instantânea (escolhendo a fase) é Essa escolha corresponde a tomar a componente circular no instante com projeção somente em (fase zero) — qualquer outra fase daria componentes em e , mas o módulo e as magnitudes são os mesmos. - A força magnética (módulo) sobre carga em movimento é
porque a força magnética máxima ocorre quando a velocidade é perpendicular ao campo; aqui é a magnitude da componente perpendicular. Dessa fórmula, isolamos : - Substituindo os números (faço as contas passo a passo):
- Explicação do que cada símbolo quer dizer:
-
é o módulo da força magnética fornecida; -
é o módulo da carga do elétron; -
é o módulo do campo magnético; -
é a magnitude da componente da velocidade perpendicular a .
-
Passo 3
Cálculo da frequência ciclótica (frequência de revoluções) e do período.
- A frequência de rotação (frequência ciclótica) para a componente perpendicular de uma carga em campo magnético uniforme é independente da velocidade e dada por
Essa fórmula vem de igualar a força centrípeta à força magnética e usar ; o resultado simples é que a frequência só depende de carga, campo e massa. - Substituindo valores:
- O período é
:
Passo 4
Determinar a componente paralela
usando o passo da hélice.
- O passo
é a distância axial percorrida em uma volta completa; portanto - Substituindo
e :
Passo 5
Montar o vetor velocidade e calcular o módulo total.
- Escolhendo a fase como antes (componente circular alinhada ao eixo
naquele instante), o vetor velocidade instantâneo pode ser escrito como Substituindo os valores numéricos: - O módulo da velocidade é
(a componente paralela é completamente negligível comparada à perpendicular nesse resultado numérico.)
Passo 6
Determinar o raio da trajetória circular (componente perpendicular).
- A relação entre raio
, massa, velocidade perpendicular e campo é a que vem da igualdade força magnética = força centrípeta: - Substituindo valores:
Passo 7
Determinar a frequência angular
.
- A frequência angular está relacionada com a frequência por
. Também vale a forma direta - Calculando numericamente:
Passo 8
Comentário final (rápido e motivador)
- Já temos todas as quantidades pedidas com os valores numéricos. Sei que alguns números (como
e ) ficaram muito grandes — isso vem diretamente das entradas numéricas fornecidas e das fórmulas padrão. Vai dar pra conferir na prova exatamente com esses passos: calcule a partir de , calcule por , use para achar , monte o vetor e calcule por . Seguindo essa receita passo a passo você resolve certeiro.
Resposta
(A)
(B)
(C)
(D)
(B)
(C)
(D)