Seja R=\{(x, y) \mid-1 \leq x \leq 1,-2 \leq y \leq 2\}, calcule a integral \iint_{R} \sqrt{1-x^{2}} d A
Passo 1
O enunciado dá a região retangular
R=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\; -2\le y\le 2\}
e pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\sqrt{1-x^{2}}\,dA.
Informações relevantes que temos:
A região R é um retângulo no plano: x varia entre -1 e 1 e y varia entre -2 e 2.
O integrando é \sqrt{1-x^{2}}, ou seja, depende somente de x (não depende de y).
A pergunta é: calcular o valor numérico da integral dupla sobre R.
Passo 2
Como o integrando depende só de x, podemos usar a forma iterada da integral dupla (teorema de Fubini) e integrar primeiro em y e depois em x. Escrevendo a integral como iterada:
Agora resta calcular a integral I=\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx.
Passo 5
Interpretação geométrica (método rápido): a função y=\sqrt{1-x^{2}} é a semicircunferência superior de raio 1 centrada na origem. A integral
\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx
é exatamente a área sob essa semicircunferência, ou seja, metade da área do círculo de raio 1. A área do círculo é \pi\cdot 1^{2}=\pi, então a área da semicircunferência é \dfrac{\pi}{2}. Portanto
\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\frac{\pi}{2}.
Passo 6
Cálculo por substituição trigonométrica (método que dá mais prática): faça a substituição \;x=\sin t\;. Então dx=\cos t\,dt e \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}t}=\lvert\cos t\rvert. Para x indo de -1 a 1, t vai de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}, e nesse intervalo \cos t\ge 0, logo \lvert\cos t\rvert=\cos t. Substituindo: