Seja R=\{(x, y) \mid-1 \leq x \leq 1,-2 \leq y \leq 2\}, calcule a integral \iint_{R} \sqrt{1-x^{2}} d A

Passo 1

O enunciado dá a região retangular
R=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\; -2\le y\le 2\}
e pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\sqrt{1-x^{2}}\,dA.
Informações relevantes que temos:
  • A região R é um retângulo no plano: x varia entre -1 e 1 e y varia entre -2 e 2.
  • O integrando é \sqrt{1-x^{2}}, ou seja, depende somente de x (não depende de y).
  • A pergunta é: calcular o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Como o integrando depende só de x, podemos usar a forma iterada da integral dupla (teorema de Fubini) e integrar primeiro em y e depois em x. Escrevendo a integral como iterada:
\iint_{R}\sqrt{1-x^{2}}\,dA = \int_{x=-1}^{1}\left(\int_{y=-2}^{2}\sqrt{1-x^{2}}\,dy\right)dx.
Aqui a ideia é que, para cada x fixo, \sqrt{1-x^{2}} é uma constante em relação a y, então a integral interna é simples.

Passo 3

Calculo da integral interna em y. Para x fixo,
\int_{y=-2}^{2}\sqrt{1-x^{2}}\,dy = \sqrt{1-x^{2}}\cdot\bigl(y\bigr)\Big|_{y=-2}^{y=2} = \sqrt{1-x^{2}}\cdot(2-(-2)) = 4\sqrt{1-x^{2}}.
Expliquei: pode-se “fatorar” \sqrt{1-x^{2}} para fora da integral em y porque ela não depende de y.

Passo 4

Substituindo de volta na integral em x obtemos uma integral simples de uma variável:
\iint_{R}\sqrt{1-x^{2}}\,dA = \int_{-1}^{1} 4\sqrt{1-x^{2}}\,dx = 4\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx.
Agora resta calcular a integral I=\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx.

Passo 5

Interpretação geométrica (método rápido): a função y=\sqrt{1-x^{2}} é a semicircunferência superior de raio 1 centrada na origem. A integral
\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx
é exatamente a área sob essa semicircunferência, ou seja, metade da área do círculo de raio 1. A área do círculo é \pi\cdot 1^{2}=\pi, então a área da semicircunferência é \dfrac{\pi}{2}. Portanto
\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Cálculo por substituição trigonométrica (método que dá mais prática): faça a substituição \;x=\sin t\;. Então dx=\cos t\,dt e \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}t}=\lvert\cos t\rvert. Para x indo de -1 a 1, t vai de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}, e nesse intervalo \cos t\ge 0, logo \lvert\cos t\rvert=\cos t. Substituindo:
\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx = \int_{t=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos t\cdot \cos t\,dt = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{2}t\,dt.
Usando a identidade \cos^{2}t=\dfrac{1+\cos(2t)}{2}, obtemos
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{2}t\,dt = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt = \frac{1}{2}\left[t+\frac{1}{2}\sin(2t)\right]_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}.
Avaliação dos limites: \sin(2t) em t=\pm\tfrac{\pi}{2} é \sin(\pm\pi)=0. Assim
\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\Bigr) = \frac{1}{2}\cdot\pi = \frac{\pi}{2},
confirmando a interpretação geométrica.

Passo 7

Voltando à integral original:
\iint_{R}\sqrt{1-x^{2}}\,dA = 4\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx = 4\cdot\frac{\pi}{2} = 2\pi.
Pronto — o valor da integral dupla é 2\pi. Manda ver na prova: identificar que o integrando não depende de y e usar Fubini já resolve rapidinho.

Resposta

2\pi

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