- (2.5 pontos)
No Brasil, os chuveiros elétricos funcionam tirando proveito do chamado Efeito Joule, que é a potência dissipada por uma resistência quando percorrida por uma corrente elétrica.
Considere que, em uma manhã de inverno, a água entra em un chuveiro residencial a uma temperatura de
e que o aparelho opera com uma vazão constante de
. Assumindo que toda a potência elétrica dissipada pelo resistor seja integralmente convertida em calor para o aquecimento da água, responda aos itens a seguir.
Dados: Considere a densidade da água
e o seu calor específico
.
Dica:
.
(b) (1.0 pontos) O chuveiro possui uma chave seletora que permite alterar o banho para o modo “Morno”, fazendo com que a água saia a uma temperatura de
. Sabendo que essa mudança é feita alterando o comprimento efetivo do mesmo fio condutor cilíndrico (feito de uma liga de Nicromo), determine a razão
entre os comprimentos das seções do resistor utilizadas en cada modo.
Considere que, em uma manhã de inverno, a água entra em un chuveiro residencial a uma temperatura de
Dados: Considere a densidade da água
Dica:
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- Temperatura de entrada da água:
. - Vazão volumétrica:
. - Densidade da água:
. - Calor específico da água:
. - No modo “Morno” a água sai a
.
- Temperatura de entrada da água:
- O que pedem:
- Determinar a razão entre os comprimentos das seções do resistor usadas nos modos “Quente” e “Morno”, ou seja
.
- Determinar a razão entre os comprimentos das seções do resistor usadas nos modos “Quente” e “Morno”, ou seja
Observação (informação usada implicitamente): a chave do chuveiro seleciona comprimentos diferentes do mesmo fio resistivo (mesma área de seção e mesma resistividade) e a tensão da rede que alimenta o chuveiro é a mesma em ambos os modos. Não foi fornecida a temperatura do modo “Quente” explicitamente no enunciado recebido; a resposta será então expressa em função da temperatura de saída no modo “Quente”,
, caso essa temperatura não tenha sido dada em outra parte da questão.
Passo 2
Converter a vazão para massa por unidade de tempo (vazão mássica), pois a potência térmica necessária depende da massa de água por segundo.
- Vazão volumétrica:
. - Como
, isso equivale a . - Converter para
:
Explicação rápida:
é a massa de água que passa por segundo; em problemas de aquecimento contínuo usamos
para calcular potência térmica necessária.
Passo 3
Determinar a expressão para a potência térmica demandada pelo chuveiro para levar a água da temperatura de entrada até a desejada.
- A taxa de calor necessária (potência) para aquecer fluxo contínuo é
onde
é a vazão mássica
,
é o calor específico
e
é a elevação de temperatura
.
- Para o modo “Morno”:
- Logo a potência no modo “Morno” vale
- Para o modo “Quente” (saída
) a potência necessária é
Comentário didático: como
e
são os mesmos nos dois modos, as potências são proporcionais às respectivas
.
Passo 4
Relacionar a potência elétrica dissipada no resistor com o comprimento da seção do fio usado.
- Para uma tensão de alimentação fixa
e um resistor de resistência , a potência dissipada por efeito Joule é
Explicação rápida: esta é uma forma da lei de Joule (ou da relação entre potência, tensão e resistência). Com tensão fixa, quanto maior
, menor a potência.
- A resistência elétrica de um fio cilíndrico uniforme é
onde
é a resistividade do material (constante para o mesmo fio),
é o comprimento efetivo do fio e
é a área da seção transversal. Aqui, por ser a mesma liga e mesma bitola do fio,
e
são constantes entre os modos.
- Portanto
é proporcional a :
- Consequentemente, com
fixo,
Ou seja, potência e comprimento são inversamente proporcionais.
Didática: isso explica porque, para ter banho mais quente (maior potência), o chuveiro usa uma seção do fio mais curta (menor resistência), e para banho mais morno usa mais fio (maior resistência), reduzindo a potência.
Passo 5
Combinar as duas relações (potência térmica necessária e dependência de
com
) para obter a razão pedida.
- Como
(Passo 3) e (Passo 4), temos, entre os dois modos,
e também
- Igualando as expressões:
- Substituindo
e ,
Interpretação prática: para um valor conhecido de
(se estiver especificado em outra parte da prova), basta substituir nessa fórmula para obter a razão numérica entre os comprimentos.