1. (2.5 pontos)
No Brasil, os chuveiros elétricos funcionam tirando proveito do chamado Efeito Joule, que é a potência dissipada por uma resistência quando percorrida por uma corrente elétrica.
Considere que, em uma manhã de inverno, a água entra em un chuveiro residencial a uma temperatura de 12^{\circ} \mathrm{C} e que o aparelho opera com uma vazão constante de 4 \mathrm{~L} / \mathrm{min}. Assumindo que toda a potência elétrica dissipada pelo resistor seja integralmente convertida em calor para o aquecimento da água, responda aos itens a seguir.
Dados: Considere a densidade da água \rho=1,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{L} e o seu calor específico c=4186 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right).
Dica: Q=m c \Delta T.
(b) (1.0 pontos) O chuveiro possui uma chave seletora que permite alterar o banho para o modo “Morno”, fazendo com que a água saia a uma temperatura de 32^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que essa mudança é feita alterando o comprimento efetivo do mesmo fio condutor cilíndrico (feito de uma liga de Nicromo), determine a razão L_{\text {quente }} / L_{\text {morno }} entre os comprimentos das seções do resistor utilizadas en cada modo.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura de entrada da água: T_{\text{in}}=12^\circ\mathrm{C}.
    • Vazão volumétrica: 4\\ \mathrm{L/min}.
    • Densidade da água: \rho=1{,}0\\ \mathrm{kg/L}.
    • Calor específico da água: c=4186\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
    • No modo “Morno” a água sai a T_{\text{morno}}=32^\circ\mathrm{C}.
  • O que pedem:
    • Determinar a razão entre os comprimentos das seções do resistor usadas nos modos “Quente” e “Morno”, ou seja \dfrac{L_{\text{quente}}}{L_{\text{morno}}}.
Observação (informação usada implicitamente): a chave do chuveiro seleciona comprimentos diferentes do mesmo fio resistivo (mesma área de seção e mesma resistividade) e a tensão da rede que alimenta o chuveiro é a mesma em ambos os modos. Não foi fornecida a temperatura do modo “Quente” explicitamente no enunciado recebido; a resposta será então expressa em função da temperatura de saída no modo “Quente”, T_{\text{quente}}, caso essa temperatura não tenha sido dada em outra parte da questão.

Passo 2

Converter a vazão para massa por unidade de tempo (vazão mássica), pois a potência térmica necessária depende da massa de água por segundo.
  • Vazão volumétrica: 4\\ \mathrm{L/min}.
  • Como \rho=1{,}0\\ \mathrm{kg/L}, isso equivale a 4\\ \mathrm{kg/min}.
  • Converter para \mathrm{kg/s}:
\dot{m}=\frac{4}{60}\\ \mathrm{kg/s}=\frac{1}{15}\\ \mathrm{kg/s}.
Explicação rápida: \dot{m} é a massa de água que passa por segundo; em problemas de aquecimento contínuo usamos \dot{m} para calcular potência térmica necessária.

Passo 3

Determinar a expressão para a potência térmica demandada pelo chuveiro para levar a água da temperatura de entrada até a desejada.
  • A taxa de calor necessária (potência) para aquecer fluxo contínuo é
P=\dot{m}\,c\,\Delta T,
onde \dot{m} é a vazão mássica (\mathrm{kg/s}), c é o calor específico \big(\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot{}^\circ\mathrm{C})\big) e \Delta T é a elevação de temperatura (^\circ\mathrm{C}).
  • Para o modo “Morno”:
\Delta T_{\text{morno}}=T_{\text{morno}}-T_{\text{in}}=32-12=20^\circ\mathrm{C}.
  • Logo a potência no modo “Morno” vale
P_{\text{morno}}=\dot{m}\,c\,\Delta T_{\text{morno}}.
  • Para o modo “Quente” (saída T_{\text{quente}}) a potência necessária é
P_{\text{quente}}=\dot{m}\,c\,\Delta T_{\text{quente}}, \qquad \Delta T_{\text{quente}}=T_{\text{quente}}-T_{\text{in}}.
Comentário didático: como \dot{m} e c são os mesmos nos dois modos, as potências são proporcionais às respectivas \Delta T.

Passo 4

Relacionar a potência elétrica dissipada no resistor com o comprimento da seção do fio usado.
  • Para uma tensão de alimentação fixa V e um resistor de resistência R, a potência dissipada por efeito Joule é
P=\frac{V^2}{R}.
Explicação rápida: esta é uma forma da lei de Joule (ou da relação entre potência, tensão e resistência). Com tensão fixa, quanto maior R, menor a potência.
  • A resistência elétrica de um fio cilíndrico uniforme é
R=\rho_{\mathrm{el}}\frac{L}{A},
onde \rho_{\mathrm{el}} é a resistividade do material (constante para o mesmo fio), L é o comprimento efetivo do fio e A é a área da seção transversal. Aqui, por ser a mesma liga e mesma bitola do fio, \rho_{\mathrm{el}} e A são constantes entre os modos.
  • Portanto R é proporcional a L:
R\propto L.
  • Consequentemente, com V fixo,
P=\frac{V^2}{R}\propto\frac{1}{L}.
Ou seja, potência e comprimento são inversamente proporcionais.
Didática: isso explica porque, para ter banho mais quente (maior potência), o chuveiro usa uma seção do fio mais curta (menor resistência), e para banho mais morno usa mais fio (maior resistência), reduzindo a potência.

Passo 5

Combinar as duas relações (potência térmica necessária e dependência de P com L) para obter a razão pedida.
  • Como P\propto\Delta T (Passo 3) e P\propto1/L (Passo 4), temos, entre os dois modos,
\frac{P_{\text{morno}}}{P_{\text{quente}}}=\frac{\Delta T_{\text{morno}}}{\Delta T_{\text{quente}}}
e também
\frac{P_{\text{morno}}}{P_{\text{quente}}}=\frac{L_{\text{quente}}}{L_{\text{morno}}}.
  • Igualando as expressões:
\frac{L_{\text{quente}}}{L_{\text{morno}}}=\frac{\Delta T_{\text{morno}}}{\Delta T_{\text{quente}}}.
  • Substituindo \Delta T_{\text{morno}}=20^\circ\mathrm{C} e \Delta T_{\text{quente}}=T_{\text{quente}}-12,
\frac{L_{\text{quente}}}{L_{\text{morno}}}=\frac{20}{T_{\text{quente}}-12}.
Interpretação prática: para um valor conhecido de T_{\text{quente}} (se estiver especificado em outra parte da prova), basta substituir nessa fórmula para obter a razão numérica entre os comprimentos.

Resposta

\frac{L_{\text{quente}}}{L_{\text{morno}}}=\frac{20}{T_{\text{quente}}-12}.

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