(2 pontos cada) Escolha cinco limites para resolver:
lim t 2 t+2t^2-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver o limite lim t 2 t+2t^2-4. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e analisar o comportamento da função perto de t = 2.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de t diretamente na expressão para ver o que acontece. Ou seja, vamos calcular 2+22^2-4.
2+24-4 = 40
Aqui, vemos que estamos dividindo por zero, o que não é permitido. Isso significa que o limite não pode ser resolvido apenas substituindo o valor; precisamos manipular a expressão de outra forma.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador t^2 - 4. Esse é um exemplo de uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
t^2 - 4 = (t - 2)(t + 2)
Então, nossa expressão original fica:
t + 2(t - 2)(t + 2)

Passo 4

Perceba que o termo t + 2 aparece tanto no numerador quanto no denominador. Podemos, então, simplificar esses termos:
cancelt + 2(t - 2)cancel(t + 2) = 1t - 2
Agora, a expressão ficou mais simples: 1t - 2.

Passo 5

Vamos analisar o que acontece com 1t - 2 quando t se aproxima de 2. Se substituirmos t por valores próximos a 2:
  • Se t se aproxima de 2 pelo lado direito (valores maiores que 2), t - 2 é um número positivo muito pequeno, então 1t - 2 tende a +infty.
  • Se t se aproxima de 2 pelo lado esquerdo (valores menores que 2), t - 2 é um número negativo muito pequeno, então 1t - 2 tende a -infty.
Como os dois lados tendem a valores infinitos com sinais diferentes, o limite não existe no sentido tradicional.

Resposta

O limite lim t 2 t+2t^2-4 não existe porque a expressão tende a +infty pelo lado direito e a -infty pelo lado esquerdo.

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