Usando o critério de linhas, verifique para que valores de se tem garantia de que o método de Gauss-Jacobi vai gerar uma sequência convergente para a solução do sistema:
R: forall k in R / k in]-4,-2[cup] 2,4[.
Escolha o menor valor inteiro e positivo para k e faça duas iterações do método de Gauss-Jacobi para o sistema linear obtido, com x^(0)=(l0 0 0).
Passo 1
Temos o sistema
4x1+2x2-x3=k^3, 2x1-6x2+kx3=k^2, x1-x2-kx3=k
O conteúdo envolve o critério de convergência de Gauss–Jacobi (dominância diagonal por linhas) e a fórmula iterativa x^(n+1)=D^-1(b-Rx^(n)). Precisamos achar o intervalo de k, escolher o menor inteiro positivo e depois fazer duas iterações com x^(0)=(0,0,0)^T.
Passo 2
Para cada linha de A aplicamos o critério de dominância diagonal:
Linha 1: |2|+|-1|=3<|4| (sempre OK).
Linha 2: |2|+|k|<6 implica |k|<4.
Linha 3: |1|+|-1|=2<|-k| implica |k|>2.
Logo a convergência ocorre se |k|<4 e |k|>2, ou seja kin(-4,-2)cup(2,4).
Passo 3
O menor valor inteiro e positivo em (2,4) é k=3.
Passo 4
Para k=3, o vetor b=(27,9,3)^T e as fórmulas de Jacobi ficam: