Usando o critério de linhas, verifique para que valores de k se tem garantia de que o método de Gauss-Jacobi vai gerar uma sequência convergente para a solução do sistema:
c 4 x1+2 x2-x3=k^3 2 x1-6 x2+k x3=k^2 x1-x2-k x3=k
R: forall k in R / k in]-4,-2[cup] 2,4[.
Escolha o menor valor inteiro e positivo para k e faça duas iterações do método de Gauss-Jacobi para o sistema linear obtido, com x^(0)=(l0 0 0).

Passo 1

Temos o sistema
4x1+2x2-x3=k^3, 2x1-6x2+kx3=k^2, x1-x2-kx3=k
O conteúdo envolve o critério de convergência de Gauss–Jacobi (dominância diagonal por linhas) e a fórmula iterativa x^(n+1)=D^-1(b-Rx^(n)). Precisamos achar o intervalo de k, escolher o menor inteiro positivo e depois fazer duas iterações com x^(0)=(0,0,0)^T.

Passo 2

Para cada linha de A aplicamos o critério de dominância diagonal:
Linha 1: |2|+|-1|=3<|4| (sempre OK).
Linha 2: |2|+|k|<6 implica |k|<4.
Linha 3: |1|+|-1|=2<|-k| implica |k|>2.
Logo a convergência ocorre se |k|<4 e |k|>2, ou seja kin(-4,-2)cup(2,4).

Passo 3

O menor valor inteiro e positivo em (2,4) é k=3.

Passo 4

Para k=3, o vetor b=(27,9,3)^T e as fórmulas de Jacobi ficam:
x1^(n+1)=-2x2^(n)+x3^(n)+274,
x2^(n+1)=2x1^(n)+3x3^(n)-96,
x3^(n+1)=x1^(n)-x2^(n)-33

Passo 5

Substituindo x^(0)=(0,0,0):
x1^(1)=274, x2^(1)=-96=-32, x3^(1)=-33=-1

Passo 6

Substituindo x^(1)=(27/4,-3/2,-1):
x1^(2)=-2(-32)+(-1)+274=294,
x2^(2)=2cdot274+3(-1)-96=14,
x3^(2)=274-(-32)-33=74

Resposta

As aproximações são
x^(1)=27/4-3/2-1, x^(2)=29/41/47/4

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