(2 pontos cada) Escolha cinco limites para resolver:
lim x infty(1+3x)^x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x infty(1+3x)^x+1. Estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente com limites que envolvem exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição do número e e algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que o limite tem a forma (1 + ax)^x + b, onde a = 3 e b = 1. Sabemos que quando x tende ao infinito, essa expressão se aproxima de uma forma conhecida relacionada ao número e.

Passo 3

Vamos reescrever o limite para facilitar o uso da definição de e. Podemos separar o expoente x + 1 da seguinte maneira:
(1 + 3x)^x + 1 = (1 + 3x)^x times (1 + 3x)
Agora, podemos analisar cada parte separadamente.

Passo 4

Sabemos pela definição de e que:
limx to infty (1 + ax)^x = e^a
Aplicando isso ao nosso caso, onde a = 3:
limx to infty (1 + 3x)^x = e^3
Além disso, a segunda parte da nossa expressão:
limx to infty (1 + 3x) = 1

Passo 5

Multiplicando os dois limites que encontramos:
e^3 times 1 = e^3

Resposta

O limite é igual a e^3.

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