Calcule
onde
é a porção da paraboloide
compreendida entre os planos
e
, com normal exterior e
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
através da parte da paráboloide
com
, usando a normal externa ao volume limitado por essa paráboloide e pelo plano
O campo é
Como
é a “parede” lateral de um sólido
cuja outra face é o plano
, vamos usar o Teorema da Divergência para o contorno fechado
, onde
é a parte do plano
que fecha
.
Passo 2
O Teorema da Divergência diz
Dessa forma,
Passo 3
Calculemos primeiro a divergência de
:
Passo 4
Precisamos do volume
Logo
onde
Façamos a mudança
. Então
vira
e
Com
, em polares
,
Portanto
Passo 5
Agora o fluxo através de
, a face em
. Parametrizamos por
.
Então
Então
que aponta para fora de
(verifica-se
dentro de
). Logo
Como
,
Esse é constante, e
tem área igual à de um disco de raio
, ou seja
. Assim
Passo 6
Finalmente