Calcule \iint_{S}(F * n) d S onde S é a porção da paraboloide z=x^{2}+y^{2} compreendida entre os planos \mathrm{z}=0 e 2 \mathrm{x}+\mathrm{z}=1, com normal exterior e F(x, y, z)=(2 x-1,2 y+1,2 z+5)

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}F\cdot n\,dS
através da parte da paráboloide
\;z=x^2+y^2
com 0\le z\le1-2x, usando a normal externa ao volume limitado por essa paráboloide e pelo plano
\;2x+z=1.
O campo é
\;F(x,y,z)=(2x-1,\;2y+1,\;2z+5).
Como S é a “parede” lateral de um sólido V cuja outra face é o plano 2x+z=1, vamos usar o Teorema da Divergência para o contorno fechado \partial V=S\cup Q, onde Q é a parte do plano 2x+z=1 que fecha V.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz
\iint_{S}F\cdot n\,dS+\iint_{Q}F\cdot n\,dS \;=\;\iiint_{V}\nabla\cdot F\,dV.
Dessa forma,
\iint_{S}F\cdot n\,dS \;=\;\iiint_{V}\nabla\cdot F\,dV \;-\;\iint_{Q}F\cdot n\,dS.

Passo 3

Calculemos primeiro a divergência de F:
\nabla\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}(2x-1) +\frac{\partial}{\partial y}(2y+1) +\frac{\partial}{\partial z}(2z+5) =2+2+2 =6.

Passo 4

Precisamos do volume
V=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le z\le1-2x\}.
Logo
\iiint_{V}6\,dV =6\iint_{D}\Bigl[(1-2x)-(x^2+y^2)\Bigr]\,dA,
onde
D:\;x^2+y^2\le1-2x \;\Longleftrightarrow\;(x+1)^2+y^2\le2.
Façamos a mudança u=x+1,\;v=y. Então D vira u^2+v^2\le2 e
1-2x-(x^2+y^2) =1-2(u-1)-\bigl[(u-1)^2+v^2\bigr] =2-\bigl(u^2+v^2\bigr).
Com dA=du\,dv, em polares u=\rho\cos\varphi,\;v=\rho\sin\varphi,
\iint_{D}(2-\rho^2)\,du\,dv =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt2}(2-\rho^2)\,\rho\,d\rho\,d\varphi =2\pi\bigl[\rho^2-\tfrac{\rho^4}{4}\bigr]_{0}^{\sqrt2} =2\pi(2-1) =2\pi.
Portanto
\iiint_{V}6\,dV =6\cdot2\pi =12\pi.

Passo 5

Agora o fluxo através de Q, a face em 2x+z=1. Parametrizamos por (x,y)\mapsto(x,y,1-2x).
Então
r_x=(1,0,-2),\quad r_y=(0,1,0), \quad r_x\times r_y=(2,0,1),
que aponta para fora de V (verifica-se \,2x+z-1<0 dentro de V). Logo
\iint_{Q}F\cdot n\,dS =\iint_{D}\!F(x,y,1-2x)\cdot(2,0,1)\,dA.
Como F(x,y,1-2x)=(2x-1,2y+1,2(1-2x)+5)=(2x-1,2y+1,7-4x),
F\cdot(2,0,1) =2(2x-1)+(7-4x) =4x-2+7-4x =5.
Esse é constante, e D tem área igual à de um disco de raio \sqrt2, ou seja 2\pi. Assim
\iint_{Q}F\cdot n\,dS =5\cdot\bigl(\text{Area}(D)\bigr) =5\cdot2\pi =10\pi.

Passo 6

Finalmente
\iint_{S}F\cdot n\,dS =12\pi - 10\pi =2\pi.

Resposta

\boxed{2\pi}

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