( 2,0 pontos) Calcule, usando produto misto, o volume do cubo determinado pelos vetores \vec{i}, \vec{j} e \vec{k}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do paralelogramo em \mathbb{R}^3 determinado pelos vetores \vec{i}, \vec{j} e \vec{k}. O conteúdo aqui é o cálculo de volume de um paralelepípedo usando o produto misto (ou triplo escalar). Vamos usar a definição
V = \bigl|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\bigr|
Passo 2
Recordando a definição, o produto misto de três vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c} é
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})
e seu valor absoluto dá o volume do paralelepípedo formado por esses vetores.
Passo 3
Aqui \vec{a}=\vec{i}=(1,0,0), \vec{b}=\vec{j}=(0,1,0) e \vec{c}=\vec{k}=(0,0,1). Primeiro calculamos