( 2,0 pontos) Calcule, usando produto misto, o volume do cubo determinado pelos vetores \vec{i}, \vec{j} e \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do paralelogramo em \mathbb{R}^3 determinado pelos vetores \vec{i}, \vec{j} e \vec{k}. O conteúdo aqui é o cálculo de volume de um paralelepípedo usando o produto misto (ou triplo escalar). Vamos usar a definição
V = \bigl|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\bigr|

Passo 2

Recordando a definição, o produto misto de três vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c} é
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})
e seu valor absoluto dá o volume do paralelepípedo formado por esses vetores.

Passo 3

Aqui \vec{a}=\vec{i}=(1,0,0), \vec{b}=\vec{j}=(0,1,0) e \vec{c}=\vec{k}=(0,0,1). Primeiro calculamos
\vec{b}\times\vec{c}=\vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}=(1,0,0).
Em seguida, o produto escalar com \vec{a} é
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{i}\cdot\vec{i} = 1.

Passo 4

Como o volume é o valor absoluto do produto misto, temos
V = \bigl|1\bigr| = 1.

Resposta

O volume do cubo determinado pelos vetores \vec{i}, \vec{j} e \vec{k} é 1.

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