Sejam
. Determine base e dimensão para:
.
é soma direta? Determine
tal que
.
Passo 1
O enunciado define em
os subespaços
Pede bases e dimensões de
, verificar se
é soma direta e achar um subespaço
tal que
. Vamos usar conceitos de parametrização de subespaços, fórmula de dimensão para soma/interseção e definição de soma direta e complemento.
Passo 2
Para
a equação é
. Podemos usar parâmetros
e
:
Logo
é base de
e
Passo 3
Para
tem-se
. Usando parâmetros
e
:
Dessa forma
é base de
e
Passo 4
Por definição
. Esses dois vetores são linearmente independentes (nenhum múltiplo do outro), então
é base de
e
Passo 5
Para
Da primeira
para evitar fração,
Portanto
é base de
e
Passo 6
Pela fórmula de Grassmann,
Como
tem dimensão 3, segue que
. Uma base concreta é, por exemplo, as três colunas
, pois os dois primeiros geram
e o terceiro vem de
mas não está em
.
Passo 7
Para que a soma seja direta precisamos
. Mas vimos que
, logo a interseção não é trivial. Portanto
Passo 8
Queremos
de modo que
. Como
, basta escolher
de dimensão 1 que não tenha vetor em comum com
. Por exemplo, tomemos
Para ver que
basta tentar resolver
e notar contradição. Logo
e como
segue
Resposta
Base e dimensão:
\
\
\
\
\ base
Soma direta? Não, pois
.
Complemento de
:
satisfaz .
satisfaz