Sejam W_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x-2 z=0\right\}, W_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x-2 y+z=0\right\} \mathrm{e} W_{3}=[(1,1,0),(0,1,1)]. Determine base e dimensão para: W_{1}, W_{2}, W_{3}, W_{1} \cap W_{2}, W_{1}+W_{2}.
W_{1}+W_{2} é soma direta? Determine W tal que \mathbb{R}^{3}=W \oplus W_{3}.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb R^3 os subespaços
W_{1}=\{(x,y,z)\mid x-2z=0\},\quad W_{2}=\{(x,y,z)\mid x-2y+z=0\},\quad W_{3}=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,1,1)\}.
Pede bases e dimensões de W_{1},W_{2},W_{3},W_{1}\cap W_{2},W_{1}+W_{2}, verificar se W_{1}+W_{2} é soma direta e achar um subespaço W tal que \mathbb R^3=W\oplus W_{3}. Vamos usar conceitos de parametrização de subespaços, fórmula de dimensão para soma/interseção e definição de soma direta e complemento.

Passo 2

Para W_{1} a equação é x=2z. Podemos usar parâmetros y e z:
(x,y,z)=(2z,y,z)=y\,(0,1,0)+z\,(2,0,1).
Logo \{(0,1,0),(2,0,1)\} é base de W_{1} e
\dim W_{1}=2.

Passo 3

Para W_{2} tem-se x=2y-z. Usando parâmetros y e z:
(x,y,z)=(2y-z,y,z)=y\,(2,1,0)+z\,(-1,0,1).
Dessa forma \{(2,1,0),(-1,0,1)\} é base de W_{2} e
\dim W_{2}=2.

Passo 4

Por definição W_{3}=\span\{(1,1,0),(0,1,1)\}. Esses dois vetores são linearmente independentes (nenhum múltiplo do outro), então
\{(1,1,0),(0,1,1)\} é base de W_{3} e
\dim W_{3}=2.

Passo 5

Para W_{1}\cap W_{2}\) resolvemos simultaneamente \[\begin{cases} x-2z=0,\\\ x-2y+z=0. \end{cases}
Da primeira x=2z\]. Substituindo na segunda: \[2z-2y+z=0\;\Longrightarrow\;3z-2y=0\;\Longrightarrow\;y=\tfrac{3}{2}z.\] Logo todo vetor da interseção é \[(2z,\tfrac{3}{2}z,z) =z\,(2,\tfrac{3}{2},1).\] Tomando \(z=2t para evitar fração,
(4t,3t,2t)=t\,(4,3,2).
Portanto \{(4,3,2)\} é base de W_{1}\cap W_{2} e
\dim(W_{1}\cap W_{2})=1.

Passo 6

Pela fórmula de Grassmann,
\dim(W_{1}+W_{2}) =\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim(W_{1}\cap W_{2}) =2+2-1=3.
Como \mathbb R^3 tem dimensão 3, segue que W_{1}+W_{2}=\mathbb R^3. Uma base concreta é, por exemplo, as três colunas
\{(0,1,0),(2,0,1),(-1,0,1)\}, pois os dois primeiros geram W_{1} e o terceiro vem de W_{2} mas não está em W_{1}.

Passo 7

Para que a soma seja direta precisamos W_{1}\cap W_{2}=\{0\}. Mas vimos que \dim(W_{1}\cap W_{2})=1, logo a interseção não é trivial. Portanto
W_{1}+W_{2}\text{ não é soma direta.}ãé

Passo 8

Queremos W de modo que \mathbb R^3=W\oplus W_{3}. Como \dim W_{3}=2, basta escolher W de dimensão 1 que não tenha vetor em comum com W_{3}. Por exemplo, tomemos
W=\span\{(1,0,0)\}.
Para ver que (1,0,0)\notin W_{3} basta tentar resolver
a\,(1,1,0)+b\,(0,1,1)=(1,0,0)
e notar contradição. Logo W\cap W_{3}=\{0\} e como \dim W+\dim W_{3}=1+2=3 segue
\mathbb R^3=W\oplus W_{3}.

Resposta

Base e dimensão:
W_{1}:\ \{(0,1,0),(2,0,1)\},\;\dim=2
W_{2}:\ \{(2,1,0),(-1,0,1)\},\;\dim=2
W_{3}:\ \{(1,1,0),(0,1,1)\},\;\dim=2
W_{1}\cap W_{2}:\ \{(4,3,2)\},\;\dim=1
W_{1}+W_{2}=\mathbb R^3:\ base \{(0,1,0),(2,0,1),(-1,0,1)\},\;\dim=3
Soma direta? Não, pois W_{1}\cap W_{2}\neq\{0\}.
Complemento de W_{3}:
W=\span\{(1,0,0)\} satisfaz \mathbb R^3=W\oplus W_{3}.

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