Resolva pelo Método de Variação de parâmetros: a equação diferencial de Segunda Ordem de Coeficientes constantes não homogênea:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^3 x1+e^x
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
e. y(x)=c1 e^2 x+c2 e^x+(ln (1+e^x)) e^2 x+(-1-e^x+ln (1+e^x)) e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de variação de parâmetros, a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes não homogênea
y''-3y'+2y=e^3x1+e^x
Vamos precisar do fundamento de EDOs lineares: solução geral = solução homogênea + solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

Começamos encontrando a solução da homogênea associada
y''-3y'+2y=0
As raízes do polinômio característico são 2 e 1, logo
yh=c1e^2x+c2e^x

Passo 3

Definimos as soluções fundamentais
y1=e^2x, y2=e^x
e calculamos o Wronskiano
W=y1y2'-y2y1'=e^2xcdot e^x-e^xcdot2e^2x=-e^3x

Passo 4

Aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros com
f(x)=e^3x1+e^x
Calculamos
u1'=-y2fW=e^x1+e^x, u2'=y1fW=-e^2x1+e^x

Passo 5

Integramos as derivadas
nu1=integrale^x1+e^xdx=ln(1+e^x),
nu2=integral -e^2x1+e^xdx=-e^x+ln(1+e^x)

Passo 6

A solução particular é
yp=nu1y1+nu2y2=ln(1+e^x)e^2x+(-e^x+ln(1+e^x))e^x
Logo a solução geral é
y=yh+yp=c1e^2x+c2e^x+ln(1+e^x)e^2x+(-e^x+ln(1+e^x))e^x

Passo 7

Comparando com a alternativa e vemos que ela inclui termos adicionais de -e^2x e -e^x dentro da parte não homogênea, mas esses podem ser absorvidos em c1 e c2. Logo a forma geral coincide e a alternativa e está correta.

Resposta

A alternativa e está correta.

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