Resolva pelo Método de Variação de parâmetros: a equação diferencial de Segunda Ordem de Coeficientes constantes não homogênea:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^3 x1+e^x
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
b. yc(x)=c1 e^2 x+c2 x e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de segunda ordem y''-3y'+2y=e^3x1+e^x usando variação de parâmetros e, em seguida, verificar se a alternativa b, que afirma yc(x)=c1e^2x+c2x e^x, está correta.

Passo 2

Para achar a solução complementar yc, primeiro resolvemos a equação característica associada: r^2-3r+2=0. Fatorando, temos (r-1)(r-2)=0, cujas raízes são r=1 e r=2. Logo, a solução complementar geral do homogêneo é yc(x)=C1e^x+C2e^2x.

Passo 3

A alternativa b propõe yc(x)=c1e^2x+c2x e^x. Note que ela só faria sentido se a raiz r=1 fosse dupla, mas vimos que r=1 é simples. Portanto não há fator x no segundo termo.

Passo 4

Concluímos que a forma apresentada na alternativa b está incorreta, pois o segundo termo deveria ser simplesmente e^x e não x e^x.

Resposta

A alternativa b está incorreta.

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