(1) (2,0 pontos) Calcular a derivada das funções abaixo, empregando as regras de derivação.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função $ g(x) = \csc^{3}(2x - 3)
\csc(x)$) e aplicar a regra da cadeia adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a estrutura da função $ g(x) = \csc^{3}(2x - 3) $. Aqui, temos uma função composta: uma função externa $ [\csc(u)]^3 $ onde $ u = 2x - 3 $. Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que serve para derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que se temos uma função $ h(x) = f(g(x)) $, então a derivada $ h’(x) = f’(g(x)) \cdot g’(x) $.
Passo 3
Vamos começar derivando a função externa $ [\csc(u)]^3 $. Usando a regra da potência, a derivada de $ [\csc(u)]^3 $ em relação a $ u $ é:
Sabemos que a derivada de $ \csc(u) $ é $ -\csc(u) \cot(u) $. Então, substituindo:
Passo 4
Agora, precisamos multiplicar pela derivada da função interna $ u = 2x - 3 $. A derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo $ u = 2x - 3 $:
Resposta
A derivada da função é: