(2)(2,0 pontos) Calcular a derivada y^prime da função abaixo definida implicitamente.
sec y=x y^2

Passo 1

Vamos resolver a derivada de $ y $ em relação a $ x $ para a função definida implicitamente por $ \sec y = x y^{2} $. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é útil quando $ y $ não está isolado na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $.
  • Lado esquerdo: A derivada de $ \sec y $ em relação a $ x $ é $ \sec y \tan y \cdot y’ $. Aqui, usamos a regra da cadeia, onde derivamos $ \sec y $ em relação a $ y $ e depois multiplicamos por $ y’ $ (a derivada de $ y $ em relação a $ x $).
  • Lado direito: A derivada de $ x y^{2} $ em relação a $ x $ é $ y^{2} + 2x y y’ $. Aqui, aplicamos a regra do produto, derivando $ x $ e $ y^{2} $ separadamente e somando os resultados.
Então, temos:
x

Passo 3

Agora, vamos isolar os termos que contêm $ y’ $ para resolver a equação.
Subtraia $ 2x y y’ $ de ambos os lados:
y'
Fatorando $ y’ $ em evidência:
2x y y'

Passo 4

Finalmente, resolvemos para $ y’ $ dividindo ambos os lados da equação por $ \sec y \tan y - 2x y $:
y'

Resposta

A derivada da função é:
y' = y^2sec y tan y - 2x y

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