(2,0 PONTOS) Calcular o domínio e a imagem das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
dada por
As perguntas são:
- Determinar o domínio de
(conjunto de pontos onde está definida como número real). - Determinar a imagem (conjunto de valores reais que
assume).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função envolve a raiz quadrada
, o que implica que o radicando deve ser não negativo para que seja real. - O radicando é
.
Passo 2
Entender a condição de existência (domínio): a raiz quadrada real existe somente quando o radicando é maior ou igual a zero. Portanto impomos a desigualdade
Vou manipular essa desigualdade em passos simples e claros.
Passo 3
Resolver a desigualdade para ver que região do plano ela descreve. A desigualdade
é equivalente a
Explicação geométrica leve: a equação
é um círculo centrado na origem com raio
(pois
). A desigualdade
corresponde ao disco fechado de centro
e raio
: todos os pontos dentro do círculo e também os da borda.
Passo 4
Concluir o domínio (a partir dos passos anteriores): o domínio é o conjunto de todos os
que satisfazem
. Não há outras restrições (nenhuma divisão por zero, logaritmo, etc.), então essa é a condição completa.
Passo 5
Agora encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis de
). Algumas observações úteis:
- A raiz quadrada retorna sempre um número não negativo, então qualquer valor de
satisfaz . - O valor de
depende do radicando ; quanto maior esse radicando, maior será .
Determinar o valor máximo possível do radicando: como
sempre, o maior valor que
pode ter é
, que ocorre quando
, ou seja, em
. Assim o valor máximo de
é
Determinar o valor mínimo possível do radicando: pela condição do domínio temos
, então o menor valor do radicando é
, que ocorre quando
(pontos da borda do disco). Nesses pontos
Portanto
nunca é negativa e seus extremos possíveis são
e
.
Passo 6
Mostrar que todos os valores entre
e
são realmente assumidos por
(para garantir que a imagem é o intervalo fechado).
Seja um número com
. Queremos um ponto
tal que
. Essa equação equivale a
Seja
Como
, tem-se
, portanto existe pelo menos um ponto
com
(por exemplo escolher
e
funciona). Logo qualquer
é atingido por
. Isso prova que a imagem é exatamente o intervalo fechado
.
Resposta
Domínio:
Imagem: