(2,0 PONTOS) Calcular o domínio e a imagem das funções abaixo:
f(x, y)=\sqrt{81-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=\sqrt{81-x^{2}-y^{2}}.
As perguntas são:
  • Determinar o domínio de f (conjunto de pontos (x,y) onde f está definida como número real).
  • Determinar a imagem (conjunto de valores reais que f assume).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função envolve a raiz quadrada \sqrt{\;\cdot\;}, o que implica que o radicando deve ser não negativo para que f(x,y) seja real.
  • O radicando é 81-x^{2}-y^{2}.

Passo 2

Entender a condição de existência (domínio): a raiz quadrada real existe somente quando o radicando é maior ou igual a zero. Portanto impomos a desigualdade
81 - x^{2} - y^{2} \ge 0.
Vou manipular essa desigualdade em passos simples e claros.

Passo 3

Resolver a desigualdade para ver que região do plano ela descreve. A desigualdade
81 - x^{2} - y^{2} \ge 0
é equivalente a
x^{2} + y^{2} \le 81.
Explicação geométrica leve: a equação x^{2}+y^{2}=81 é um círculo centrado na origem com raio 9 (pois 9^{2}=81). A desigualdade x^{2}+y^{2}\le 81 corresponde ao disco fechado de centro (0,0) e raio 9: todos os pontos dentro do círculo e também os da borda.

Passo 4

Concluir o domínio (a partir dos passos anteriores): o domínio é o conjunto de todos os (x,y) que satisfazem x^{2}+y^{2}\le 81. Não há outras restrições (nenhuma divisão por zero, logaritmo, etc.), então essa é a condição completa.

Passo 5

Agora encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis de f(x,y)). Algumas observações úteis:
  • A raiz quadrada retorna sempre um número não negativo, então qualquer valor de f satisfaz f(x,y)\ge 0.
  • O valor de f depende do radicando 81-x^{2}-y^{2}; quanto maior esse radicando, maior será f.
Determinar o valor máximo possível do radicando: como x^{2}+y^{2}\ge 0 sempre, o maior valor que 81-x^{2}-y^{2} pode ter é 81, que ocorre quando x^{2}+y^{2}=0, ou seja, em (x,y)=(0,0). Assim o valor máximo de f é
f(0,0)=\sqrt{81}=9.
Determinar o valor mínimo possível do radicando: pela condição do domínio temos x^{2}+y^{2}\le 81, então o menor valor do radicando é 0, que ocorre quando x^{2}+y^{2}=81 (pontos da borda do disco). Nesses pontos
f(x,y)=\sqrt{0}=0.
Portanto f nunca é negativa e seus extremos possíveis são 0 e 9.

Passo 6

Mostrar que todos os valores entre 0 e 9 são realmente assumidos por f (para garantir que a imagem é o intervalo fechado).
Seja t um número com 0\le t\le 9. Queremos um ponto (x,y) tal que f(x,y)=t. Essa equação equivale a
\sqrt{81-x^{2}-y^{2}}=t \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=81-t^{2}.
Como 0\le t\le 9, tem-se 0\le 81-t^{2}\le 81, portanto existe pelo menos um ponto (x,y) com x^{2}+y^{2}=81-t^{2} (por exemplo escolher x=\sqrt{81-t^{2}} e y=0 funciona). Logo qualquer t\in[0,9] é atingido por f. Isso prova que a imagem é exatamente o intervalo fechado [0,9].

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 81\}
Imagem: [0,9]

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