(2,0 PONTOS) Determinar e fazer uma representação gráfica do domínio da função:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
:
- Determinar o domínio da função (ou seja, o conjunto de pares
para os quais está bem definida e é um número real). - Fazer uma representação gráfica desse domínio.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A expressão dentro da raiz é
. - A raiz é uma raiz cúbica, indicada por
. - Há uma soma de
fora da raiz.
Passo 2
O que é domínio aqui? O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pontos
para os quais a expressão que define a função resulta em um número real. Em símbolos: o domínio é
.
Para decidir o domínio, precisamos ver se existe alguma restrição imposta pela operação matemática usada (aqui: a raiz cúbica).
Passo 3
Propriedade importante da raiz cúbica: a função
está definida para todo
. Ou seja, ao contrário da raiz quadrada, que exige
, a raiz cúbica aceita números negativos e positivos. Exemplos simples para fixar a ideia:
-
. -
.
Esses exemplos mostram que não há restrição do tipopara raiz cúbica.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso: o radicando é
. Como a raiz cúbica aceita qualquer número real, não há restrição sobre quais valores
pode assumir — ele pode ser positivo, nulo ou negativo, e a raiz cúbica continuará bem definida e real. Em termos de conjunto:
Também é preciso notar que a soma
fora da raiz não impõe nenhuma restrição adicional: somar
a um número real produz sempre um número real. Portanto essa operação não reduz o conjunto de pontos permitidos.
Passo 5
Conclusão matematicamente explícita: o domínio de
é todo o plano
. Em notação:
Como dica de prova e para fixar a diferença (útil para a prova): se a raiz tivesse sido quadrada, ou seja, se a função fosse
, o domínio seria o disco fechado
. A diferença vem exatamente do fato de que a raiz quadrada exige radicando não negativo, enquanto a raiz cúbica não.
Passo 6
Como representação gráfica do domínio: desenha-se o plano cartesiano
e sombreia-se todo o plano (ou simplesmente indica-se que TODOS os pontos do plano pertencem ao domínio). Não existe restrição geométrica — é o plano inteiro.