(2,0 PONTOS) Determinar e fazer uma representação gráfica do domínio da função:
f(x, y)=\sqrt[3]{9-x^{2}-y^{2}}+5

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função f(x,y)=\sqrt[3]{9-x^{2}-y^{2}}+5:
  • Determinar o domínio da função (ou seja, o conjunto de pares (x,y) para os quais f(x,y) está bem definida e é um número real).
  • Fazer uma representação gráfica desse domínio.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A expressão dentro da raiz é 9-x^{2}-y^{2}.
  • A raiz é uma raiz cúbica, indicada por \sqrt[3]{\cdot}.
  • Há uma soma de +5 fora da raiz.

Passo 2

O que é domínio aqui? O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pontos (x,y) para os quais a expressão que define a função resulta em um número real. Em símbolos: o domínio é \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)\\ \text{está definida como real}\}á.
Para decidir o domínio, precisamos ver se existe alguma restrição imposta pela operação matemática usada (aqui: a raiz cúbica).

Passo 3

Propriedade importante da raiz cúbica: a função t\mapsto\sqrt[3]{t} está definida para todo t\in\mathbb{R}. Ou seja, ao contrário da raiz quadrada, que exige t\ge0, a raiz cúbica aceita números negativos e positivos. Exemplos simples para fixar a ideia:
  • \sqrt[3]{8}=2.
  • \sqrt[3]{-8}=-2.
    Esses exemplos mostram que não há restrição do tipo t\ge0 para raiz cúbica.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso: o radicando é 9-x^{2}-y^{2}. Como a raiz cúbica aceita qualquer número real, não há restrição sobre quais valores 9-x^{2}-y^{2} pode assumir — ele pode ser positivo, nulo ou negativo, e a raiz cúbica continuará bem definida e real. Em termos de conjunto:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 9-x^{2}-y^{2}\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}^2.
Também é preciso notar que a soma +5 fora da raiz não impõe nenhuma restrição adicional: somar 5 a um número real produz sempre um número real. Portanto essa operação não reduz o conjunto de pontos permitidos.

Passo 5

Conclusão matematicamente explícita: o domínio de f é todo o plano \mathbb{R}^2. Em notação:
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}^2=\{(x,y)\mid x\in\mathbb{R},\\ y\in\mathbb{R}\}.
Como dica de prova e para fixar a diferença (útil para a prova): se a raiz tivesse sido quadrada, ou seja, se a função fosse g(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}+5, o domínio seria o disco fechado \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le9\}. A diferença vem exatamente do fato de que a raiz quadrada exige radicando não negativo, enquanto a raiz cúbica não.

Passo 6

Como representação gráfica do domínio: desenha-se o plano cartesiano (x,y) e sombreia-se todo o plano (ou simplesmente indica-se que TODOS os pontos do plano pertencem ao domínio). Não existe restrição geométrica — é o plano inteiro.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}^2

Exercícios relacionados