(2,5 pontos) Calcular \iiint_{T} x d V, sendo T a regiāo delimitada por x^{2}+(y-3)^{2}+(z-2)^{2}=9. Sugestão: Fazer a mudança de variáveis para coordenadas esféricas através da fórmula \iiint_{T} \int(x, y, z) d V=\iiint_{T^{\prime}} f(\rho \sin \varphi \cos \theta, 3+\rho \sin \varphi \sin \theta, 2+\rho \cos \varphi) \rho^{2} \sin \varphi d \rho d \varphi d \theta.
“Eis como será abençoada a pessoa que teme o SENHOR!”

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\iiint_{T} x\,dV
sendo T a esfera de centro (0,3,2) e raio 3.
O conteúdo é integração tripla usando coordenadas esféricas centradas na esfera. Vamos usar a sugestão de mudança de variáveis.

Passo 2

Definimos as coordenadas esféricas deslocadas:
\begin{cases} x = \rho \,\sin\varphi\,\cos\theta,\\\ y = 3 + \rho \,\sin\varphi\,\sin\theta,\\\ z = 2 + \rho \,\cos\varphi, \end{cases}
com 0 \le \rho \le 3, 0 \le \varphi \le \pi, 0 \le \theta \le 2\pi.
O jacobiano dessa transformação é \rho^{2}\sin\varphi.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\iiint_{T} x\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\varphi=0}^{\pi} \int_{\rho=0}^{3} \bigl(\rho\sin\varphi\cos\theta\bigr)\,\bigl(\rho^{2}\sin\varphi\bigr) \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Ou seja,
\iiint_{T} x\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\!\cos\theta\,d\theta \;\times\! \int_{0}^{\pi}\!\!\sin^{2}\varphi\,d\varphi \;\times\! \int_{0}^{3}\!\!\rho^{3}\,d\rho.

Passo 4

Note que
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0.
Como esse fator já zera todo o produto, concluímos que a integral tripla é zero.

Resposta

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