(2,5 pontos) Calcular \iiint_{T} x d V, sendo T a regiāo delimitada por x^{2}+(y-3)^{2}+(z-2)^{2}=9. Sugestão: Fazer a mudança de variáveis para coordenadas esféricas através da fórmula \iiint_{T} \int(x, y, z) d V=\iiint_{T^{\prime}} f(\rho \sin \varphi \cos \theta, 3+\rho \sin \varphi \sin \theta, 2+\rho \cos \varphi) \rho^{2} \sin \varphi d \rho d \varphi d \theta.
“Eis como será abençoada a pessoa que teme o SENHOR!”
Passo 1
O enunciado pede o valor de
\iiint_{T} x\,dV
sendo T a esfera de centro (0,3,2) e raio 3.
O conteúdo é integração tripla usando coordenadas esféricas centradas na esfera. Vamos usar a sugestão de mudança de variáveis.
Passo 2
Definimos as coordenadas esféricas deslocadas:
\begin{cases} x = \rho \,\sin\varphi\,\cos\theta,\\\ y = 3 + \rho \,\sin\varphi\,\sin\theta,\\\ z = 2 + \rho \,\cos\varphi, \end{cases}
com 0 \le \rho \le 3, 0 \le \varphi \le \pi, 0 \le \theta \le 2\pi.
O jacobiano dessa transformação é \rho^{2}\sin\varphi.