(3.0 pontos) Calcular
Passo 1
O enunciado pede para calcular
Isso envolve dois aspectos de integral imprópria: a singularidade em
e os limites infinitos. Vamos explorar que
é função par e, em seguida, determinar
por um método de parâmetro que garante convergência, usando diferenciação sob o sinal de integral.
por um método de parâmetro
Passo 2
Como
, a função é par e
Note que em
a integral é removível, pois
.
Passo 3
Definimos para
que converge absolutamente. Diferenciando em relação a
sob o sinal de integral:
Sabemos que
logo
Passo 4
Para encontrar
integremos
:
Como
(o fator
anula tudo), temos
Portanto
Passo 5
Voltando ao caso não regularizado, tomamos
:
Logo a integral original é